Dubbi primordiali sugli integrali

[anotherjoe-votailprof]

Salve a tutti,

stavo riflettendo sull'operazione di integrale, dopo aver letto la discussione sull'effettiva utilità di dx.

Una risposta per me chiarificatrice è stata quella secondo cui l'integrale su un intervallo è l'area sottesa dalla funzione in quell'intervallo, quindi in ogni tratto è la funzione (altezza) per la base (dx). Se però la base è infinitesima, cioè tende a zero o si scosta poco da esso, allora l'area della funzione dovrebbe scostarsi a sua volta poco da esso. E invece, dato che l'integrale di una funzione è sempre un'altra funzione, l'area ha l'andamento di quell'altra funzione. Questa è una cosa che non riesco a capire.

Altra cosa è l'uso diverso di diversi tipi di integrale, ad esempio l'integrale di linea o, nella teoria dei segnali, l'integrale che scritto in forma standard, va immaginato come se si espandesse in realtà sia a destra che a sinistra dello 0. Questi tipi di operazioni dovrebbero avere significati diversi, tuttavia si risolvono tutti quanti con le stesse formule di integrazione, anche se concettualmente rappresentano cose diverse.
Come mai?

Vi ringrazio.

[gugo82]

"Another Joe":Una risposta per me chiarificatrice è stata quella secondo cui l'integrale su un intervallo è l'area sottesa dalla funzione in quell'intervallo, quindi in ogni tratto è la funzione (altezza) per la base (dx). Se però la base è infinitesima, cioè tende a zero o si scosta poco da esso, allora l'area della funzione dovrebbe scostarsi a sua volta poco da esso [...]

Qui siamo nell'euristica... Insomma chi ha risposto così ha usato un argomento non rigoroso per illustrare in maniera efficace un concetto astratto.
Perciò non devi prendere alla lettera quanto si è detto sui rettangolini con "base infinitesima".

"Another Joe":E invece, dato che l'integrale di una funzione è sempre un'altra funzione, l'area ha l'andamento di quell'altra funzione. Questa è una cosa che non riesco a capire.

In verità l'integrale definito di una funzione integrabile è sempre un numero reale.

Probabilmente ti confondi con la funzione integrale o, ancora peggio, con il fumoso "integrale indefinito" (non sarebbe ora di cambiare questo nome?).

"Another Joe":Altra cosa è l'uso diverso di diversi tipi di integrale, ad esempio l'integrale di linea o, nella teoria dei segnali, l'integrale che scritto in forma standard, va immaginato come se si espandesse in realtà sia a destra che a sinistra dello 0. Questi tipi di operazioni dovrebbero avere significati diversi, tuttavia si risolvono tutti quanti con le stesse formule di integrazione, anche se concettualmente rappresentano cose diverse.
Come mai?

Qui non credo di aver capito cosa intendi...

Il fatto che di solito si risolva tutto con "le stesse formule d'integrazione" è conseguenza di due fatti: 1) alla fin fine si cerca di ricondurre tutto a integrali in una variabile (perchè per quelli posso almeno tentare di applicare qualche formula) e 2) se devo assegnare un esercizio in un compito, devo fare in modo che sia risolvibile.
Ma quelle "formule d'integrazione" non risolvono mica tutto: ad esempio, l'integrale:

[tex]$\int_0^1 e^{x^2} \ \text{d} x$[/tex]

non si può calcolare con l'uso delle formulette.

[Mathcrazy]

"Another Joe":
Una risposta per me chiarificatrice è stata quella secondo cui l'integrale su un intervallo è l'area sottesa dalla funzione in quell'intervallo, quindi in ogni tratto è la funzione (altezza) per la base (dx). Se però la base è infinitesima, cioè tende a zero o si scosta poco da esso, allora l'area della funzione dovrebbe scostarsi a sua volta poco da esso. E invece, dato che l'integrale di una funzione è sempre un'altra funzione, l'area ha l'andamento di quell'altra funzione. Questa è una cosa che non riesco a capire.


Vi ringrazio.

Io sono tra quelli, che ha cercato di spiegare la questione, parlando di rettangolini a base infinitesima .
Concordo con gugo, per il fatto che si tratta di un concetto astratto.
Quell'esempio serve a far capire, nella pratica, cosa è e a cosa serve un integrale, se proprio non ve ne siete fatti un idea..
Ma la questione è molto più profonda e solo una buona dose di teoria, può farvi entrare nella logica corretta sulla base della quale dovete pensare ad un integrale.