Dualismo tra la definizione di $0^0$ e $0^0$ nei limiti
non so nemmeno io come ci sono finito sopra ma sono andato a finire in parecchi topic dove si dicuteva della definizione di $0^0$
leggendo quello che è stato scritto in questi topic e nei riferimenti esterni in essi riportati (tra cui un link alla bocconi), tenedo conto della definizione (dalla teoria degli insiemi) di potenza data da Luca.Lussardi e delle più disparate dimostrazioni (adesso non ricordo nemmeno da chi - non me ne vogliano gli autori ma dopo 50 minuti passati a leggere l'argomento ho un leggero mal di testa
), devo convenire che $0^0=1$ (e mi sta anche bene!!!)
però ho una domada, se vogliamo anche diversa: abbiamo assodato che dalla teoria degli insiemi deeriva che, la definizione più logica di $0^0$ è $0^0=1$, ma mettimo che io peschi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e mettiamo anche che $lim_{x to 0}=0$ e $lim_{x to 0}g(x)=0$; a questo punto decido di fare il limite $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))$: perchè se faccio questo limite dico che ottengo la forma di indecisione $0^0$ che per essere risolta necessita del teorema di De L'Hopital e non posso fare direttamente $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))=0^0=1$ sfruttando la definizione di $0^0=1$ derivante dalla teoria degli insiemi?
leggendo quello che è stato scritto in questi topic e nei riferimenti esterni in essi riportati (tra cui un link alla bocconi), tenedo conto della definizione (dalla teoria degli insiemi) di potenza data da Luca.Lussardi e delle più disparate dimostrazioni (adesso non ricordo nemmeno da chi - non me ne vogliano gli autori ma dopo 50 minuti passati a leggere l'argomento ho un leggero mal di testa
), devo convenire che $0^0=1$ (e mi sta anche bene!!!)però ho una domada, se vogliamo anche diversa: abbiamo assodato che dalla teoria degli insiemi deeriva che, la definizione più logica di $0^0$ è $0^0=1$, ma mettimo che io peschi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e mettiamo anche che $lim_{x to 0}=0$ e $lim_{x to 0}g(x)=0$; a questo punto decido di fare il limite $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))$: perchè se faccio questo limite dico che ottengo la forma di indecisione $0^0$ che per essere risolta necessita del teorema di De L'Hopital e non posso fare direttamente $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))=0^0=1$ sfruttando la definizione di $0^0=1$ derivante dalla teoria degli insiemi?
Risposte
Data l'identità...
$f(x)^(g(x))=e^(g(x)*ln[f(x)]$ (1)
... la via più sicura di procedere è il calcolo del limite...
$lim_(x->0) g(x)*ln[f(x)]$ (2)
Indicando con $l$ tale limite, se esiste ben inteso, sarà...
$lim_(x->0) f(x)^(g(x))=e^l$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
$f(x)^(g(x))=e^(g(x)*ln[f(x)]$ (1)
... la via più sicura di procedere è il calcolo del limite...
$lim_(x->0) g(x)*ln[f(x)]$ (2)
Indicando con $l$ tale limite, se esiste ben inteso, sarà...
$lim_(x->0) f(x)^(g(x))=e^l$ (3)
cordiali saluti
lupo grigio
... chè perder tempo a chi più sa più spiace... Dante Alighieri, Divina Commedia, Purgatorio, III, 78
va bè...de L'Hopital ce lo siamo risparmiati ma la domanda resta
su questo forum si è fatto un casino per dimostrare che $0^0=1$ e credo che questa cosa non sia stata inventata ad arte dal forum di matematicamente.it
quindi, se è vero com'è vero $0^0=1$ perchè quando calcolo un limite dico che ottengo una forma di indecisione $0^0$ che devo poi risolvere al posto di dire più semplicemente $lim f(x)=0^0=1$?
su questo forum si è fatto un casino per dimostrare che $0^0=1$ e credo che questa cosa non sia stata inventata ad arte dal forum di matematicamente.it
quindi, se è vero com'è vero $0^0=1$ perchè quando calcolo un limite dico che ottengo una forma di indecisione $0^0$ che devo poi risolvere al posto di dire più semplicemente $lim f(x)=0^0=1$?
Per come la vedo io, l'esponenziale $a^x$ è definito solo per $a>0$, quindi dire che quando base ed esponente tendono a zero il limite è $0^0=1$ mi sembra scorretto in quanto presuppone una qualche "continuità" della funzione "base" in zero (i limiti risolti "per sostituzione" - quindi le forme non indeterminate - si giustificano con la continuità di qualche funzione interessata).
Comunque io tendo a considerare ragionevole l'uguaglianza $0^0=1$ solo in un ambito "algebrico".
Comunque io tendo a considerare ragionevole l'uguaglianza $0^0=1$ solo in un ambito "algebrico".
"WiZaRd":
non so nemmeno io come ci sono finito sopra ma sono andato a finire in parecchi topic dove si dicuteva della definizione di $0^0$
leggendo quello che è stato scritto in questi topic e nei riferimenti esterni in essi riportati (tra cui un link alla bocconi), tenedo conto della definizione (dalla teoria degli insiemi) di potenza data da Luca.Lussardi e delle più disparate dimostrazioni (adesso non ricordo nemmeno da chi - non me ne vogliano gli autori ma dopo 50 minuti passati a leggere l'argomento ho un leggero mal di testa
però ho una domada, se vogliamo anche diversa: abbiamo assodato che dalla teoria degli insiemi deeriva che, la definizione più logica di $0^0$ è $0^0=1$, ma mettimo che io peschi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e mettiamo anche che $lim_{x to 0}=0$ e $lim_{x to 0}g(x)=0$; a questo punto decido di fare il limite $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))$: perchè se faccio questo limite dico che ottengo la forma di indecisione $0^0$ che per essere risolta necessita del teorema di De L'Hopital e non posso fare direttamente $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))=0^0=1$ sfruttando la definizione di $0^0=1$ derivante dalla teoria degli insiemi?
secondo me te sbagli nel ragionamento in quanto usi la definizione di $0^0=1$ per i limiti.
ricordiamo velocemente la definizione di limite in questo caso.
http://www.chihapauradellamatematica.or ... o_caso.htm
questo significa che zero è il punto di accumulazione per la funzione e quindi la funzione non assumerà mai il valore zero!
INFATTI, RIPRENDENDO IL TUO POST
$lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))$: ottengo la forma di indecisione $0^0$ per quanto avevi detto in precenza.
se vogliamo scriverlo in modo perfetto, quello che ottieni non sarà quindi un esatto $0^0$, di cui sai già il risultato, ma sarà una forma di indecisione che possiamo scrivere così:
$(0+-epsilon)^(0+-epsilon)$ con epsilon piccolo finchè vuoi...
ora è diversissimo questo risultato dallo 0^0 e non puoi neanche calcolarlo come hai detto te prima, ma devi farlo come ha illustrato lupo grigio.
spero di essermi spiegato bene e aver reso l'idea senza essermi aggrovigliato troppo e non aver scritto fesserie
"fu^2":
[...] ma sarà una forma di indecisione che possiamo scrivere così:
$(0+-epsilon)^(0+-epsilon)$ con epsilon piccolo finchè vuoi...
Non sono del tutto d'accordo: perché invece
$(2+-epsilon)^(0+-epsilon)$
non è una forma di indecisione?
perchè se $epsilonto0$ allora il tutto si avvicina alla forma 2^0 e quindi il tutto si avvicina a 1.
nel caso dello zero quella che si dà è una definizione esatta per 0^0, non per due numeri che tendono a zero entrambi, che è quello che accade nel primo caso...
non sei d'accordo?
nel caso dello zero quella che si dà è una definizione esatta per 0^0, non per due numeri che tendono a zero entrambi, che è quello che accade nel primo caso...
non sei d'accordo?
@fu^2: e ragionando allo stesso modo non potrei dire che se una funzione ha come limite la forma di indecisione $0^0$ allora tende a $0^0$ e poichè $0^0=1$ allor il limite è $1$?
"WiZaRd":
@fu^2: e ragionando allo stesso modo non potrei dire che se una funzione ha come limite la forma di indecisione $0^0$ allora tende a $0^0$ e poichè $0^0=1$ allor il limite è $1$?
no, in quanto per la forma esatta di $0^0$ si da la definizione che essa vale 1.
la forma limite è cosa diversa in quanto non è la forma esatta!
Quindi essa non è definita, cosa diversa dall'esempio di 2^0 che, anche come forma limite è possibile darne un valore (1).
"fu^2":
perchè se $epsilonto0$ allora il tutto si avvicina alla forma 2^0 e quindi il tutto si avvicina a 1.
nel caso dello zero quella che si dà è una definizione esatta per 0^0, non per due numeri che tendono a zero entrambi, che è quello che accade nel primo caso...
non sei d'accordo?
Diciamo quasi
Il fatto è che per esempio $(2+x)^x$, quando x tende a 0, diventa un "circa 2" elevato a un "circa 0" e il fatto che il limite sia proprio $2^0$ si deduce da questioni legate alla continuità della funzione esponenziale (e non dal fatto che l'intera espressione si avvicina a un qualcosa che "ha senso"). A volte non basta che sostituendo il tutto abbia senso...
Per fare un esempio tratto da un altro post in questo forum... dovendo calcolare $\lim_{x \to 1} \frac{\sqrt{5x^2+4}-3x}{x-1}$ uno potrebbe essere spinto a dire: la radice $\sqrt{5x^2+4}$ quando x tende ad 1 si avvicina a 3 (che ha senso), quindi il numeratore si avvicina a $3(1-x)$ (che ha senso), e quindi il limite è -3 (ragionamento che tra l'altro considererei ragionevole...)... se non fosse sbagliato!
Spero di essermi spiegato
Edito:
Quindi essa non è definita, cosa diversa dall'esempio di 2^0 che, anche come forma limite è possibile darne un valore (1).
Attento! Che sia possibile darne un valore non assicura che il limite sia corretto (vedi esempio qui sopra).
Riedito: Quello che vorrei dimostrare (o comunque quello su cui vorrei avvertire) è che la "sostituzione barbara" del valore a cui tende la x può portare a situazioni ambigue, se non le si sono mai affrontate. Nel caso di $2^0$ di poco sopra, il fatto che il limite valga 1 è assicurato dalla continuità della funzione esponenziale (e non dal fatto che $2^0$ ha senso matematicamente).
perdonate la mia limitatezza 
ma continuo a non capire
se $lim f(x)=0^0$ e $0^0=1$ perchè non vale $lim f(x)=0^0=1$? la transitività dell'uguaglianza perchè non vale?
poi nuova domada: la funzione $f(x)=x^x$ è definita per $x=0$?
ma continuo a non capirese $lim f(x)=0^0$ e $0^0=1$ perchè non vale $lim f(x)=0^0=1$? la transitività dell'uguaglianza perchè non vale?
poi nuova domada: la funzione $f(x)=x^x$ è definita per $x=0$?
"WiZaRd":
perdonate la mia limitatezza
se $lim f(x)=0^0$ e $0^0=1$ perchè non vale $lim f(x)=0^0=1$? la transitività dell'uguaglianza perchè non vale?
poi nuova domada: la funzione $f(x)=x^x$ è definita per $x=0$?
Credo che sia solo questione di notazione. Non si può dire che un limite fa $0^0$, come non si può dire che un limite fa $1/0$, scriviamo così perché così ci si capisce. Altrimenti dovremmo ammettere che $1/0 = \infty$. Cosa falsa: $1/0$ non ha senso.
I limiti andrebbero sempre calcolati con la definizione (teoricamente parlando
).La funzione $x \to x^x$ non è definita per $x=0$ proprio perché la definizione di esponenziale non ammette che la base possa essere nulla.
"Martino":
Quindi essa non è definita, cosa diversa dall'esempio di 2^0 che, anche come forma limite è possibile darne un valore (1).
Attento! Che sia possibile darne un valore non assicura che il limite sia corretto (vedi esempio qui sopra).
Riedito: Quello che vorrei dimostrare (o comunque quello su cui vorrei avvertire) è che la "sostituzione barbara" del valore a cui tende la x può portare a situazioni ambigue, se non le si sono mai affrontate. Nel caso di $2^0$ di poco sopra, il fatto che il limite valga 1 è assicurato dalla continuità della funzione esponenziale (e non dal fatto che $2^0$ ha senso matematicamente).
si va beh, puoi darne un valore sotto le ipotesi che 0 sia per quella funzione un punto di accumulazione, l'esempio è anche scemo in quanto in una funzione esponenziale non ha neanche senso calcolare il limite per x->0 (nel nostro caso era la discussione intorno a 2^0) in quanto esiste nella funzione e non è un pnto di accumulazione!
era un esempio sciocco, ha più senso quello citato sopra da te
"Martino":
Credo che sia solo questione di notazione. Non si può dire che un limite fa $0^0$, come non si può dire che un limite fa $1/0$, scriviamo così perché così ci si capisce. Altrimenti dovremmo ammettere che $1/0 = \infty$. Cosa falsa: $1/0$ non ha senso
e se non si può dire che un limite fa $0^0$ come posso dire che il limite si presenta in questa forma?
"Martino":
La funzione $x \to x^x$ non è definita per $x=0$ proprio perché la definizione di esponenziale non ammette che la base possa essere nulla.
quindi è solo un problema di definizione della funzione esponenziale ma anche con le funzioni $0^0=1$?
"WiZaRd":
[quote="Martino"]
Credo che sia solo questione di notazione. Non si può dire che un limite fa $0^0$, come non si può dire che un limite fa $1/0$, scriviamo così perché così ci si capisce. Altrimenti dovremmo ammettere che $1/0 = \infty$. Cosa falsa: $1/0$ non ha senso
e se non si può dire che un limite fa $0^0$ come posso dire che il limite si presenta in questa forma?[/quote]
In realtà di solito si dice "il limite si presenta nella forma $0^0$" (è solo un modo breve per dire "sia base che esponente tendono a zero"), non che il limite fa $0^0$.
"Martino":
La funzione $x \to x^x$ non è definita per $x=0$ proprio perché la definizione di esponenziale non ammette che la base possa essere nulla.
quindi è solo un problema di definizione della funzione esponenziale ma anche con le funzioni $0^0=1$?
Per quanto ne so, sì. Però ti conviene sentire anche altri pareri
Allora. Bellissima la questione ma non è ben posta.
In analisi il simbolo $0^0$ denota IMPROPRIAMENTE la forma indeterminata
$lim_(x->a)f(x)^g(x)$ (1)
dove a è un punto di accumulazione dei domini delle funzioni $f(x), g(x), f(x)^g(x)$
nel caso si abbia
$0=lim_(x->a)f(x)=lim_(x->a)g(x)$.
La si chiama così perché NON E' POSSIBILE A PRIORI determinare il risultato di (1) perché si danno esempi di coppie f(x) , g(x) in cui (1) converge a qualunque valore, è infinito o non esiste.
D'altra parte si ha che NON ESISTE $lim_((x,y)->(0,0))x^y$ in quanto se (x,y) varia sull'asse y si ha $x^y=0$ mentre se (x,y) varia sull'asse y si ha $x^y=1$; quindi $x^y$ non può convergere nell'origine a un limite dato che in ogni suo intorno vale 0 per certi valori e 1 per altri.
Si può tuttavia rendere rigoroso il significato analitico di $0^0$ nell'ambiente dei numeri iperreali (analisi non standard) scrivendo semplicemente $df^(dg)$.
Osserviamo per esempio che in questo contesto il (non) significato della forma indeterminata $0^0$ dipende dalla TOPOLOGIA della retta reale.
In teoria degli insiemi, invece, dove per 0 s'intende l'insieme vuoto $O/$, per $0^0=(O/)^(O/)$ s'intende l'insieme delle funzioni con dominio e codominio vuoto.
Per capire perché in quel contesto non si ha una forma indeterminata ma l'uguaglianza $0^0=1$ occorre specificare alcuni concetti, di cui forse alcuni di voi hanno solo una nozione intuitiva.
Innanzitutto, in teoria degli insiemi, se $X$ è un insieme, il SUCCESSORE di $X$ è l'insieme:
$X^+=X cup {X}$
e in tale teoria, per definizione:
$1= 0^+=O/ cup {O/} = {O/}$
(per chi legge questa cosa per la prima volta anche io fui tanto sorpreso nell'apprendere che il buon vecchio 1 altro non è che un insieme... )
Perciò, occorre appurare che $(O/)^(O/)=0^0=1={O/}$ ossia che l'unica funzione con dominio e codominio vuoti è l'insieme vuoto.
E' quindi NECESSARIO definire rigorosamente il concetto di FUNZIONE, a partire da altri concetti elementari.
Se a,b sono insiemi, dicesi COPPIA ORDINATA (secondo Kuratowski) l'insieme:
$(a,b) = {{a},{a,b}}$
tralascio le motivazioni di questa definizione, qui riportata solo per completezza.
Pertanto le coppie ordinate sono insiemi, ma non tutti gli insiemi sono coppie ordinate (basta abbiano 3 elementi).
Un insieme $R$ dicesi RELAZIONE se è costituita solo da coppie ordinate.
L'insieme vuoto è una relazione: non avendo elementi non si può dire che non possiede solo coppie ordinate tra i suoi elementi, per il principio del terzo escluso possiede solo coppie ordinate tra i suoi elementi.
Una insieme $f$ dicesi FUNZIONE se è una relazione che soddisfa la condizione seguente:
$(x,y) in f ^^ (x,y_1) in f => y = y_1$
L'insieme vuoto è una funzione per lo stesso motivo per cui è una relazione.
Il DOMINIO della funzione f , $dom f$, è l'insieme delle prime coordinate delle coppie da cui è costituita (abbandono il rigore altrimenti devo fare considerazioni assai più delicate di queste) mentre il CODOMINIO, $rng f$ della funzione f è l'insieme delle seconde coordinate delle coppie da cui è costituita.
E' ovvio che $O/ = dom O/ = rng O/$, ma allora $O/ in (O/)^O/$ , pertanto $ 1={O/} sube (O/)^O/ $ , c'è almeno la funzione insieme vuoto che ha dominio e codominio entrambi vuoti.
E' facile vedere poi che non esistono altre funzioni dominio e codominio entrambi vuoti, da cui infine $1={O/} = (O/)^O/ = 0^0$.
Qui in teoria degli insiemi non ho usato concetti che dipendono dal contesto, come i limiti che dipendono dalla topologia, ma solo nozioni della teoria stessa.
In definitiva in teoria degli insiemi $0^0$ indica un oggetto ben preciso, in analisi no!
Scusate non avrei voluto essere prolisso ma è stato inevitabile.
In analisi il simbolo $0^0$ denota IMPROPRIAMENTE la forma indeterminata
$lim_(x->a)f(x)^g(x)$ (1)
dove a è un punto di accumulazione dei domini delle funzioni $f(x), g(x), f(x)^g(x)$
nel caso si abbia
$0=lim_(x->a)f(x)=lim_(x->a)g(x)$.
La si chiama così perché NON E' POSSIBILE A PRIORI determinare il risultato di (1) perché si danno esempi di coppie f(x) , g(x) in cui (1) converge a qualunque valore, è infinito o non esiste.
D'altra parte si ha che NON ESISTE $lim_((x,y)->(0,0))x^y$ in quanto se (x,y) varia sull'asse y si ha $x^y=0$ mentre se (x,y) varia sull'asse y si ha $x^y=1$; quindi $x^y$ non può convergere nell'origine a un limite dato che in ogni suo intorno vale 0 per certi valori e 1 per altri.
Si può tuttavia rendere rigoroso il significato analitico di $0^0$ nell'ambiente dei numeri iperreali (analisi non standard) scrivendo semplicemente $df^(dg)$.
Osserviamo per esempio che in questo contesto il (non) significato della forma indeterminata $0^0$ dipende dalla TOPOLOGIA della retta reale.
In teoria degli insiemi, invece, dove per 0 s'intende l'insieme vuoto $O/$, per $0^0=(O/)^(O/)$ s'intende l'insieme delle funzioni con dominio e codominio vuoto.
Per capire perché in quel contesto non si ha una forma indeterminata ma l'uguaglianza $0^0=1$ occorre specificare alcuni concetti, di cui forse alcuni di voi hanno solo una nozione intuitiva.
Innanzitutto, in teoria degli insiemi, se $X$ è un insieme, il SUCCESSORE di $X$ è l'insieme:
$X^+=X cup {X}$
e in tale teoria, per definizione:
$1= 0^+=O/ cup {O/} = {O/}$
(per chi legge questa cosa per la prima volta anche io fui tanto sorpreso nell'apprendere che il buon vecchio 1 altro non è che un insieme...
)Perciò, occorre appurare che $(O/)^(O/)=0^0=1={O/}$ ossia che l'unica funzione con dominio e codominio vuoti è l'insieme vuoto.
E' quindi NECESSARIO definire rigorosamente il concetto di FUNZIONE, a partire da altri concetti elementari.
Se a,b sono insiemi, dicesi COPPIA ORDINATA (secondo Kuratowski) l'insieme:
$(a,b) = {{a},{a,b}}$
tralascio le motivazioni di questa definizione, qui riportata solo per completezza.
Pertanto le coppie ordinate sono insiemi, ma non tutti gli insiemi sono coppie ordinate (basta abbiano 3 elementi).
Un insieme $R$ dicesi RELAZIONE se è costituita solo da coppie ordinate.
L'insieme vuoto è una relazione: non avendo elementi non si può dire che non possiede solo coppie ordinate tra i suoi elementi, per il principio del terzo escluso possiede solo coppie ordinate tra i suoi elementi.
Una insieme $f$ dicesi FUNZIONE se è una relazione che soddisfa la condizione seguente:
$(x,y) in f ^^ (x,y_1) in f => y = y_1$
L'insieme vuoto è una funzione per lo stesso motivo per cui è una relazione.
Il DOMINIO della funzione f , $dom f$, è l'insieme delle prime coordinate delle coppie da cui è costituita (abbandono il rigore altrimenti devo fare considerazioni assai più delicate di queste) mentre il CODOMINIO, $rng f$ della funzione f è l'insieme delle seconde coordinate delle coppie da cui è costituita.
E' ovvio che $O/ = dom O/ = rng O/$, ma allora $O/ in (O/)^O/$ , pertanto $ 1={O/} sube (O/)^O/ $ , c'è almeno la funzione insieme vuoto che ha dominio e codominio entrambi vuoti.
E' facile vedere poi che non esistono altre funzioni dominio e codominio entrambi vuoti, da cui infine $1={O/} = (O/)^O/ = 0^0$.
Qui in teoria degli insiemi non ho usato concetti che dipendono dal contesto, come i limiti che dipendono dalla topologia, ma solo nozioni della teoria stessa.
In definitiva in teoria degli insiemi $0^0$ indica un oggetto ben preciso, in analisi no!
Scusate non avrei voluto essere prolisso ma è stato inevitabile.
Concordo con tutto, in particolare con:
anche se a volte mi scoccia dover distinguere tra "ambito analitico" e "ambito algebrico".
"zorn":
In definitiva in teoria degli insiemi $0^0$ indica un oggetto ben preciso, in analisi no!
anche se a volte mi scoccia dover distinguere tra "ambito analitico" e "ambito algebrico".
Io non vedo il perche' di tutto questo casino...
$lim_{x->0} x^x = 1$
$lim_{x->0} 0^x = 0$
Dunque e' una forma di indecisione. Anche se $0^0 = 1$ che importa ? Noi non stiamo parlando
di numeri, ma di funzioni che per ogni intorno di [bla bla bla]... risultano minori di [bla bla bla]
P.S. Per inciso, mi pare di ricordare che se $f$ e $g$ sono meromorfe (stiamo parlando in $CC$) in un intorno di $0$, allora si il limite tende sempre a uno
$lim_{x->0} x^x = 1$
$lim_{x->0} 0^x = 0$
Dunque e' una forma di indecisione. Anche se $0^0 = 1$ che importa ? Noi non stiamo parlando
di numeri, ma di funzioni che per ogni intorno di [bla bla bla]... risultano minori di [bla bla bla]
P.S. Per inciso, mi pare di ricordare che se $f$ e $g$ sono meromorfe (stiamo parlando in $CC$) in un intorno di $0$, allora si il limite tende sempre a uno
Grazie Martino... specie se ti riferisci all'analisi non standard con il campo degli iperreali lo capisci ancora di più che $0^0$ non è un oggetto ben preciso... ciao
"zorn":
D'altra parte si ha che NON ESISTE $lim_((x,y)->(0,0))x^y$ in quanto se (x,y) varia sull'asse y si ha $x^y=0$ mentre se (x,y) varia sull'asse y si ha $x^y=1$; quindi $x^y$ non può convergere nell'origine a un limite dato che in ogni suo intorno vale 0 per certi valori e 1 per altri.
Si può tuttavia rendere rigoroso il significato analitico di $0^0$ nell'ambiente dei numeri iperreali (analisi non standard) scrivendo semplicemente $df^(dg)$.
Osserviamo per esempio che in questo contesto il (non) significato della forma indeterminata $0^0$ dipende dalla TOPOLOGIA della retta reale.
alcune cose non capisco:
per chiunque voglia rispondere
1) la funzione $f(x,y)=x^y$ è definita per $(x,y)=(0,0)$?
2) se $(x,y)$ varia lungo gli assi significa che $f(x,y)=x^y$ è ivi definita, quindi il suo dominio è $x ge 0 ^^ y ge 0$?
per zorn
3) cosa intendi dire quando dici "non significato"?
"WiZaRd":
alcune cose non capisco:
per chiunque voglia rispondere
1) la funzione $f(x,y)=x^y$ è definita per $(x,y)=(0,0)$?
2) se $(x,y)$ varia lungo gli assi significa che $f(x,y)=x^y$ è ivi definita, quindi il suo dominio è $x ge 0 ^^ y ge 0$?
per zorn
3) cosa intendi dire quando dici "non significato"?
Il problema, caro Wizard, è che a queste tue domande in realtà è molto difficile rispondere (almeno per me): io non mi sentirei di rispondere in modo sicuro. Al massimo ti potrei dare la mia opinione:
- secondo me la funzione $f(x,y)=x^y$ è definita per $x>0$ e $y \in RR$ (e quindi non è definita in (0,0)),
- secondo me la scrittura $0^0$ non ha significato in analisi, in algebra sì.
- a giustificare meglio l'asserzione precedente a questa: nella teoria dei limiti le confusioni sono spesso dovute a problemi con la notazione. Se si calcolassero tutti i limiti con la definizione di queste ambiguità non vi sarebbe l'ombra (però sarebbe enormemente più lungo e difficile).
Come vedi potrebbero non essere risposte del tutto soddisfacenti...
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