Dualismo tra la definizione di $0^0$ e $0^0$ nei limiti
non so nemmeno io come ci sono finito sopra ma sono andato a finire in parecchi topic dove si dicuteva della definizione di $0^0$
leggendo quello che è stato scritto in questi topic e nei riferimenti esterni in essi riportati (tra cui un link alla bocconi), tenedo conto della definizione (dalla teoria degli insiemi) di potenza data da Luca.Lussardi e delle più disparate dimostrazioni (adesso non ricordo nemmeno da chi - non me ne vogliano gli autori ma dopo 50 minuti passati a leggere l'argomento ho un leggero mal di testa
), devo convenire che $0^0=1$ (e mi sta anche bene!!!)
però ho una domada, se vogliamo anche diversa: abbiamo assodato che dalla teoria degli insiemi deeriva che, la definizione più logica di $0^0$ è $0^0=1$, ma mettimo che io peschi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e mettiamo anche che $lim_{x to 0}=0$ e $lim_{x to 0}g(x)=0$; a questo punto decido di fare il limite $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))$: perchè se faccio questo limite dico che ottengo la forma di indecisione $0^0$ che per essere risolta necessita del teorema di De L'Hopital e non posso fare direttamente $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))=0^0=1$ sfruttando la definizione di $0^0=1$ derivante dalla teoria degli insiemi?
leggendo quello che è stato scritto in questi topic e nei riferimenti esterni in essi riportati (tra cui un link alla bocconi), tenedo conto della definizione (dalla teoria degli insiemi) di potenza data da Luca.Lussardi e delle più disparate dimostrazioni (adesso non ricordo nemmeno da chi - non me ne vogliano gli autori ma dopo 50 minuti passati a leggere l'argomento ho un leggero mal di testa
), devo convenire che $0^0=1$ (e mi sta anche bene!!!)però ho una domada, se vogliamo anche diversa: abbiamo assodato che dalla teoria degli insiemi deeriva che, la definizione più logica di $0^0$ è $0^0=1$, ma mettimo che io peschi due funzioni $f(x)$ e $g(x)$ e mettiamo anche che $lim_{x to 0}=0$ e $lim_{x to 0}g(x)=0$; a questo punto decido di fare il limite $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))$: perchè se faccio questo limite dico che ottengo la forma di indecisione $0^0$ che per essere risolta necessita del teorema di De L'Hopital e non posso fare direttamente $lim_{x to 0} (f(x))^(g(x))=0^0=1$ sfruttando la definizione di $0^0=1$ derivante dalla teoria degli insiemi?
Risposte
Per WiZaRd:
Rispondo:
1) No, la funzione $f(x,y)=x^y$ non è definita per $(x,y)=(0,0)$ ma l'origine è un punto d'accumulazione del suo dominio $ D = ]0;+oo[ xx RR $, quindi si può considerare $lim_((x,y)->(0,0))x^y$ e si vede che non esiste per le ragioni che ho spiegato.
2) Il dominio della funzione è $D$, ossia la base $x$ deve essere positiva. Non si può definire $x^y$ con $x<0$ perché la sua esistenza dipende dalla rappresentazione di y, quindi non è ben posta. Per esempio, se $x=-1, y=1/2=2/4$ si ha $(-1)^(1/2)=sqrt(-1)$ e non esiste in $R$, mentre $(-1)^(2/4)=^4sqrt((-1)^2)=^4 sqrt(1) = 1$, quindi allo stesso tempo vale 1, assurdo.
3) Volevo dire che il fatto che non esiste $lim_((x,y)->(0,0))x^y$ dipende dalla topologia della retta reale. Se cambio topologia potrebbe convergere a qualcosa. Come vedi dipende da troppe cose perché gli si possa dare un significato nel contesto dell'analisi.
Spero di essere stato esauriente, ciao.
Rispondo:
1) No, la funzione $f(x,y)=x^y$ non è definita per $(x,y)=(0,0)$ ma l'origine è un punto d'accumulazione del suo dominio $ D = ]0;+oo[ xx RR $, quindi si può considerare $lim_((x,y)->(0,0))x^y$ e si vede che non esiste per le ragioni che ho spiegato.
2) Il dominio della funzione è $D$, ossia la base $x$ deve essere positiva. Non si può definire $x^y$ con $x<0$ perché la sua esistenza dipende dalla rappresentazione di y, quindi non è ben posta. Per esempio, se $x=-1, y=1/2=2/4$ si ha $(-1)^(1/2)=sqrt(-1)$ e non esiste in $R$, mentre $(-1)^(2/4)=^4sqrt((-1)^2)=^4 sqrt(1) = 1$, quindi allo stesso tempo vale 1, assurdo.
3) Volevo dire che il fatto che non esiste $lim_((x,y)->(0,0))x^y$ dipende dalla topologia della retta reale. Se cambio topologia potrebbe convergere a qualcosa. Come vedi dipende da troppe cose perché gli si possa dare un significato nel contesto dell'analisi.
Spero di essere stato esauriente, ciao.
va bien...
vi ringrazio per i preziosi chiairmenti e le informazioni fornite
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