Doppia Differenziabilità e inversione dell'ordine di derivazione.
Buonasera a tutti.
Leggendo gli appunti di una mia compagna ho trovato scritto un "teorema" privo di dimostrazione che asserisce che :
"Se un funzione è differenziabile due volte allora le derivate miste non dipendo dall'ordine di derivazione".
Ora come è noto da vari testi il teorema di Schwartz asserisce che se una funzione è di classe $C^2$ in un certo punto $x_0$ allora le derivate miste non dipendo dall'ordine di derivazione nel punto $x_0$.
C'è da dire che è anche vero che se una funzione è di classe $C^2$ in un punto $x_0$ allora è differenziabile due volte per il teorema del differenziale totale.
Queste due affermazioni tuttavia a mio parere non implicano la prima, quindi (sempre se tale teorema è vero) il teorema trovato negli appunti della mia compagna non è conseguenza di questi due fatti.
A pelle mi verrebbe da dire che il teorema è falso e la mia compagna abbia sbagliato a scrivere, perché nella dimostrazione del teorema di Schwartz la continuità delle derivate parziali seconde è cruciale, e come è ben noto la differenziabilità non implica la continuità delle derivate parziali.
Quindi vorrei sapere prima di tutto tale teorema è vero o falso? per il momento non sono riuscito a trovare controesempi...
Leggendo gli appunti di una mia compagna ho trovato scritto un "teorema" privo di dimostrazione che asserisce che :
"Se un funzione è differenziabile due volte allora le derivate miste non dipendo dall'ordine di derivazione".
Ora come è noto da vari testi il teorema di Schwartz asserisce che se una funzione è di classe $C^2$ in un certo punto $x_0$ allora le derivate miste non dipendo dall'ordine di derivazione nel punto $x_0$.
C'è da dire che è anche vero che se una funzione è di classe $C^2$ in un punto $x_0$ allora è differenziabile due volte per il teorema del differenziale totale.
Queste due affermazioni tuttavia a mio parere non implicano la prima, quindi (sempre se tale teorema è vero) il teorema trovato negli appunti della mia compagna non è conseguenza di questi due fatti.
A pelle mi verrebbe da dire che il teorema è falso e la mia compagna abbia sbagliato a scrivere, perché nella dimostrazione del teorema di Schwartz la continuità delle derivate parziali seconde è cruciale, e come è ben noto la differenziabilità non implica la continuità delle derivate parziali.
Quindi vorrei sapere prima di tutto tale teorema è vero o falso? per il momento non sono riuscito a trovare controesempi...
Risposte
Grazie mille!
Adesso andrò a darci un occhio anche sui libri che hai menzionato!
Grazie ancora
!!!
Adesso andrò a darci un occhio anche sui libri che hai menzionato!
Grazie ancora
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