Dominio integrale doppio

[lepre561]

posto due domini perchè non riesco a uscirne a capo

$D={(x.y)inRR^2 : x^2+y^2-4x<0$ è una semplice circonferenza centrata in $(2,0)$ passo a coordinate polari...e ottengo che $0


$D={(x,y)inRR^2 : 1<=x^2+y^2<=2x}$ sono due circonferenze il cui dominio è una "luna calante" passante a coordinate polari ottengo che $0<=rho<=2costheta$ ma per $theta$ come potrei fare ? qualche input?

[Bokonon]

$x^2+y^2-4x<0$
$x^2-4x+4-4+y^2<0$
$(x-2)^2+y^2<4$
Poniamo:
$x-2=rcos(theta)$
$y=rsin(theta)$
Da cui $0

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[lepre561]

"Bokonon":$x^2+y^2-4x<0$
$x^2-4x+4-4+y^2<0$
$(x-2)^2+y^2<4$
Poniamo:
$x-2=rcos(theta)$
$y=rsin(theta)$
Da cui $0


ma perchè $rho$ come l'avevo trovato io e proposto il libro non andava bene?

[Bokonon]

Chi ha detto che non va bene?
Se vuoi sostituire $x=rcos(theta)$ accomodati, oppure torna al thread precedente, rileggilo e cerca di capire cosa ti abbiamo suggerito io e gugo...ma definitivamente!

[21zuclo]

penso che voglia dire per l'angolo $\theta$

la soluzione dice che è $ \theta\in (-\pi/2,\pi/2) $

mentre lui dice che è $ \theta\in(0,2\pi) $ in quanto NON vi sono vincoli sull'angolo.
E siccome io sono un po' arrugginito sugli integrali doppi, pure io avrei fatto $\theta \in (0,2\pi)$

[lepre561]

Esattamente intendo quello che ha detto 21zuclo

[pilloeffe]

Ciao lepre561,

Partiamo dal primo dominio:

$ D = {(x,y) \in \RR^2 : x^2+y^2-4x < 0 } $

Ora, se fai un bel disegno potrai accorgerti facilmente che si tratta di una circonferenza di centro $C(2,0) $ e raggio $r = 2 $ e pertanto tutta contenuta nel primo e nel quarto quadrante. Quindi probabilmente se c'è scritto $-\pi/2 < \theta < \pi/2 $ significa che chi ha pensato alla soluzione ha piazzato il polo in $ O(0,0) $.
Per il secondo dominio proposto:

$ D = {(x,y) \in \RR^2 : 1<=x^2+y^2<=2x} $

Vale sempre il consiglio di farsi un bel disegno per rendersi conto della situazione. Anche in questo caso ritengo che il polo sia stato piazzato in $O(0,0) $ ed occhio che hai anche sbagliato le limitazioni per $\rho $: $ 1 <= \rho <= 2cos\theta $
Fra quali angoli è compreso $\theta $ ?

[lepre561]

Ok ho capito il primo esercizio...il secondo invece ho ancora dei dubbi ${(-1<=rhouurho>=1),(rho<=2costheta):}$ $rho$ si ricava così giusto

Per l'angolo non saprei perché dalla figura direi $-pi/2,pi/2$ ma non mi sembra proprio una semicirconferenza ben delimitata

[Bokonon]

"21zuclo":penso che voglia dire per l'angolo $\theta$

Se la circonferenza è centrata nell'orgine, allora la distanza/"raggio" dall'origine è costante e spazza l'intero cerchio come una lancetta che compie un giro intero.
Se la circonferenza è centrata in (2,0) ed ha raggio 2, allora sta tutta destra. La distanza dall'origine varia in base a dove si trovano i punti della circonferenza, quindi $0
Se la circonferenza fosse stata così:

Allora la lancetta compirebbe un giro intero allungandosi e accorciandosi, quindi $0
Se invece si trasla il centro nell'origine e di conseguenza la curva da integrare, allora è decisamente più facile...

Quando arriverà questo dominio:

saprà impostare l'integrale e poi risolverlo impostando quello traslato, facendo felice il prof e se stesso.

[Bokonon]

Per il secondo esercizio si procede come ho scritto sopra. Ma te lo faccio vedere graficamente.


La lancetta è in viola e parte dal punto $(1/2, -sqrt(3)/2)$ (in cui le due circonferenze si intersecano.
Quindi la lancetta stavolta al minimo è lunga 1 poi cresce toccando la circonferenza verde, quindi $1 L'angolo iniziale è -60° e quello finale +60°, quindi la lancetta spazza sempre in senso antiorario fra $-pi/3

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[lepre561]

molto utile questa spiegazione con le lancette...una sola cosa però non mi è chiara ma il punto di intersezione del secondo lo trovo mettendo a sistema le due circonferenze?

mentre per il primo traslando nell'orgine mi posso immaginare il tutto come una semicirconferenza?

[Bokonon]

Certo che fai delle domande...
Ovvio che si. Metti a sistema, sottrai la prima equazione dalla seconda e trovi immediatamente $x=1/2$
Ma perchè non ci provi prima di chiedere?

Se trasli tutto ponendo $x=2+rcos(theta)$ perchè devi cambiare il dominio? E' sempre l'intero cerchio, no?

[lepre561]

allora continuo a non capire

il mio dubbio è questa ma se il mio dominio è tutta la circonferenza ovunque io mi metto con il polo l'angolo non varia su tutta la circonferenza?

[21zuclo]

"Bokonon":[quote="21zuclo"]penso che voglia dire per l'angolo $\theta$

Se la circonferenza è centrata nell'orgine, allora la distanza/"raggio" dall'origine è costante e spazza l'intero cerchio come una lancetta che compie un giro intero.
Se la circonferenza è centrata in (2,0) ed ha raggio 2, allora sta tutta destra. La distanza dall'origine varia in base a dove si trovano i punti della circonferenza, quindi $0
Se la circonferenza fosse stata così:

Allora la lancetta compirebbe un giro intero allungandosi e accorciandosi, quindi $0
Se invece si trasla il centro nell'origine e di conseguenza la curva da integrare, allora è decisamente più facile...

Quando arriverà questo dominio:

saprà impostare l'integrale e poi risolverlo impostando quello traslato, facendo felice il prof e se stesso.[/quote]

Sui forum si scoprono sempre cose nuove. Questa cosa dei poli mi è nuova, non avevo mai sentito che se una circonferenza come in questo caso che ha centro $ C=((2),(0)) $ bisognava considerare i poli e quindi si ha $ \theta\in (-\pi/2,\pi/2) $

mi ricordo che un esercizio che avevo svolto in passato, dava una circonferenza come in questo caso, però siccome non vi erano vincoli sull'angolo, la soluzione ed io avevo fatto $ \theta \in (0,2\pi) $ , cioè l'esercizio era stato svolto dal nostro esercitatore.

Però ad essere sincero, non ho capito tanto. Potresti rispiegarmelo più semplicemente? per favore.

Poi, DOMANDA, quando si ha una circonferenza NON c'entrata nell'origine, è sbagliato considerare se non ci sono vincoli $ \theta\in (0,2\pi) $ ?

[pilloeffe]

"lepre561": [...] ma se il mio dominio è tutta la circonferenza ovunque io mi metto con il polo l'angolo non varia su tutta la circonferenza?

Cosa significa questa frase?

"21zuclo": [...] quando si ha una circonferenza NON centrata nell'origine, è sbagliato considerare se non ci sono vincoli $\theta \in (0,2\pi)$ ?

Dovrebbe essere chiaro per tutti che le coordinate polari hanno un polo: se esso viene scelto esterno o come nel caso in esame coincidente col centro $O(0,0) $ della prima circonferenza di raggio $1 $, che coincide col bordo della seconda di centro $C(1,0) $ e raggio $1 $, l'angolo $\theta $ varia fra valori che non sono indipendenti dalla scelta di polo effettuata...

[gugo82]

Il problema di lepre561[nota]Ma non solo il suo: vedo pletore di utenti e di studenti che “ragionano” in questo modo![/nota] è che pretende di svolgere gli esercizi cercando di comprendere dei fantomatici “meccanismi” o “regole fisse” che ne determinano gli svolgimenti.
Questo dipende da una voragine culturale che si porta dietro dalle superiori (o, ancora peggio, dalle medie o dalle elementari) circa il funzionamento della Matematica; e stare qui a continuamente a chiedere, piuttosto che a fare da solo in autonomia, spaccandosi la testa sui testi e riempendo fogli di conti[nota]Che in un’unica parola si dice: studiare.[/nota], da due anni a questa parte (sì, me li ricordo i post in Geometria…) non ha colmato questa grossa lacuna.

Prima lepre561 si sveglia e cerca di capire davvero come funzionano le cose (cioè che su ogni esercizio c’è bisogno di accendere il cervello e ragionare, sfruttando tutte le frecce che la teoria mette nella nostra faretra), prima si muove da dov’è… Che non è un bel posto, visto che gli trasmette grosse insicurezze, paura di non riuscire a capire/fare ed ansia.

Certo, mi rendo conto che mettersi a 20 anni a recuperare all’università quanto non fatto in 5/8/10 anni di scuola non è semplice: però è l’unico lavoro che può fare e che può tornargli utile in futuro.

[lepre561]

"pilloeffe":[quote="lepre561"] [...] ma se il mio dominio è tutta la circonferenza ovunque io mi metto con il polo l'angolo non varia su tutta la circonferenza?

[/quote]
Cosa significa questa frase?


allora cerco di farmi capire...se ho un esercizio il cui dominio è una semicirconferenza è ovvio che il mio angolo può assumere valori tra $-pi/2,pi/2$ il che mi sembra abbastanza ovvio

nel caso specifico del mio ersercizio come mai il mio angolo può assumere gli stessi valori di come se avessi una semicirconferenza anche se ho una circonferenza?

[lepre561]

"gugo82":Il problema di lepre561[nota]Ma non solo il suo: vedo pletore di utenti e di studenti che “ragionano” in questo modo![/nota] è che pretende di svolgere gli esercizi cercando di comprendere dei fantomatici “meccanismi” o “regole fisse” che ne determinano gli svolgimenti.
Questo dipende da una voragine culturale che si porta dietro dalle superiori (o, ancora peggio, dalle medie o dalle elementari) circa il funzionamento della Matematica; e stare qui a continuamente a chiedere, piuttosto che a fare da solo in autonomia, spaccandosi la testa sui testi e riempendo fogli di conti[nota]Che in un’unica parola si dice: studiare.[/nota], da due anni a questa parte (sì, me li ricordo i post in Geometria…) non ha colmato questa grossa lacuna.

Prima lepre561 si sveglia e cerca di capire davvero come funzionano le cose (cioè che su ogni esercizio c’è bisogno di accendere il cervello e ragionare, sfruttando tutte le frecce che la teoria mette nella nostra faretra), prima si muove da dov’è… Che non è un bel posto, visto che gli trasmette grosse insicurezze, paura di non riuscire a capire/fare ed ansia.

Certo, mi rendo conto che mettersi a 20 anni a recuperare all’università quanto non fatto in 5/8/10 anni di scuola non è semplice: però è l’unico lavoro che può fare e che può tornargli utile in futuro.

che io abbia delle lacune su determinati argomenti o che alcuni argomenti non li abbia appreso a pieno mi sembra ovvio data la mia presenza sul forum...però su una cosa ti sbagli...non cerco di apprendere in maniera meccanica perchè ovviamente ogni esercizio ha una sua storia e ricordarseli tutti sarebbe utopistico...però converrai con me che se uno studente vede due esercizi dissimili risolti in maniera praticamente uguale cerca di capirne il motivo...se tale motivo non appare evidente per lacune scolastiche cerca un appiglio che nell'immediato e la soluzione più pratica è quella di vedere il tutto con un approccio più semplicistico e meno teorico...molto probabilmente è sbagliato però la mia speranza è che magari postando esercizi diversi con il vostro aiuto con qualche informazione in più acquisita ad ogni esercizio possa riuscire a colmare la mia lacuna

[gugo82]

"lepre561":se ho un esercizio il cui dominio è una semicirconferenza è ovvio che il mio angolo può assumere valori tra $-pi/2,pi/2$ il che mi sembra abbastanza ovvio

Quello che ti sembra “ovvio”, ovvio non è.
Ed il fatto che a te sembri “ovvio” è indice della limitatezza della tua interpretazione geometrica della situazione, che non viene scalfita in alcun modo dai disegni e dai suggerimenti di altri.

"lepre561":nel caso specifico del mio ersercizio come mai il mio angolo può assumere gli stessi valori di come se avessi una semicirconferenza anche se ho una circonferenza?

Dipende dal polo.
E ritorniamo alla solita domanda inevasa: che cos’è il polo delle coordinate polari?

[lepre561]

è il punto fisso di riferimento per determinare tutti gli altri punti che sono identificati da un angolo e da questo punto

[gugo82]

"lepre561":è il punto fisso di riferimento per determinare tutti gli altri punti che sono identificati da un angolo e da questo punto

Quello che scrivi non significa nulla.
Scrivi bene.