Dominio integrale doppio

[raduazzodjantony]

Salve a tutti ho un integrale f(x,y) doppio definito nel dominio
D={(x,y)appartiene a R^2: 0<=x<=y<=sqrt(2)x, xy<=1}
Non riesco a impostare il dominio per risolvere poi gli integrali definiti

[pilloeffe]

Ciao Radu13,

Se ho capito bene il dominio è

$ D = {(x,y)\in \RR^2: 0 <= x <= y <=\sqrt(2)x, xy <= 1} $

Dovresti però almeno farci sapere che funzione $z = f(x, y) $ devi integrare sul dominio specificato...

[raduazzodjantony]

"pilloeffe":Ciao Radu13,

Se ho capito bene il dominio è

$ D = {(x,y)\in \RR^2: 0 <= x <= y <=\sqrt(2)x, xy <= 1} $

Dovresti però almeno farci sapere che funzione $z = f(x, y) $ devi integrare sul dominio specificato...

La funzione è $int(xlog(1+xy)dxdy)$

[pilloeffe]

Dunque se non ho capito male l'integrale proposto è il seguente:

[tex]\iint_D x log(1+xy)dxdy[/tex]

ove $D = {(x,y)\in \RR^2: 0 <= x <= y <=\sqrt(2)x, xy <= 1} $
Prova a farti un disegno di $D$, dovresti scoprire abbastanza facilmente che è $y $-semplice: si tratta di un "triangolo" avente i lati sulle due rette $y = x $ e $y = sqrt{2} x $ e come "base" una piccola porzione dell'iperbole $xy = 1 $
La retta $y = x $ interseca l'iperbole $xy = 1 $ nel punto $x = 1 $, mentre la retta $y = sqrt{2} x $, che sta sopra la retta $y = x $, interseca l'iperbole $xy = 1 $ nel punto $x = 1/root[4]{2} $

Quindi se non erro si ha:

[tex]\iint_D x log(1+xy)dxdy[/tex] $= \int_0^{1/root[4]{2}}\int_{x}^{sqrt{2} x} x log(1+xy)dxdy + \int_{1/root[4]{2}}^{1}\int_{x}^{1/x} x log(1+xy)dxdy = $
$ = \int_0^{1/root[4]{2}}[x \int_{x}^{sqrt{2} x} log(1+xy)dy]dx + \int_{1/root[4]{2}}^{1} [x\int_{x}^{1/x} log(1+xy)dy]dx = $
$ = \int_0^{1/root[4]{2}}[xy log(1+xy) + log(1+xy) - xy]_x^{sqrt{2} x} dx + \int_{1/root[4]{2}}^{1} [xy log(1+xy) + log(1+xy) - xy]_x^{1/x} dx $

Ora dovresti riuscire a proseguire...