Dominio Funzione integrale.

[identikit_man-votailprof]

Ciao a tutti in un compito di analisi ho trovato questa funzione integrale.
$f(x)=\int_1^xe^(t^2)/tdt$.Qulcuno mi può spiegare come si calcola il dominio di questa funzione?
Io ho ragionato così la funzione integranda è definita nell'intervallo $]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; ora per definizione di funzione integrale la x puù variare in tutto quest'intervallo.Quindi distingua 3 casi:
1) se $x>0$ allora si viene a creare un intervallo di integrazione chiuso e limitato qui la funzione è sia limitata che continua e quindi integrabile secondo riemann.
2) se $x=0$ avrò che gli estremi di integrazione saranno finiti ma la funzione integranda risulterà nn limitata; quindi integrale generalizzato.A questo punto applico il corollario del confronto ovvero:
$lim_(t->0^+)(e^(t^2)/t t^\alpha)$ ora per $\alpha=1$ il limite viene 1 quindi la funzione integranda è integrabile; ma non sommabile.Quindi l'integrale non assume valore finito; e quindi lo 0 nn va considerato nel dominio.
3)se invece x<0 la funzione integranda è sempre continua e quindi integrabile.
quindi il dominio della funzione integrale alla fine dovrebbe essere:
$]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; invece nella soluzione risulta essere solo $]0,+\infty[$.come mai?Dove ho sbagliato?

[piero_1]

ciao,
qui:
https://www.matematicamente.it/forum/stu ... 25340.html
si è trattato l'argomento in modo approfondito, dai un'occhiata e se restano dubbi vediamo

[adaBTTLS1]

non so se ho capito il problema. ma nel testo hai un estremo d'integrazione fisso, 1, e il dominio è da trovare in base al valore dell'altro estremo x.
se l'intervallo d'integrazione non può contenere 0, vuol dire che lo zero non deve essere compreso tra x e 1. se dai alla x un qualsisi valore negativo, la f(x) dovrebbe assumere valore $-int_x^1 "..."= -int_x^0 "..."-int_0^1 "..."$. è possibile?

[identikit_man-votailprof]

Allora io devo prima studiare la funzione integranda...e poi dopo la funzione integrale.Fino a qui ci sn; ma nel mio caso la funzione integranda ha un determinato dominio; per quanto riguarda la funzione integrale cm faccio a calcolarne il dominio?

[adaBTTLS1]

due cose:
una precisazione sul mio intervento precedente: non sono entrata nel merito della funzione, ma solo da un punto di vista formale, osservando che tu escludevi lo zero, e supponendo quindi che avessi valutato la situazione nell'intorno dello zero. non ha senso, nell'integrale, escludere solo un punto. se si esclude lo zero, si escludono automaticamente tutti gli intervalli che lo contengono...
per valutare la situazione nell'intorno dello zero, devi ricorrere agli integrali impropri, e quindi in particolare, almeno, al limite di f(x) per $x->0^+$.

[identikit_man-votailprof]

"adaBTTLS":non so se ho capito il problema. ma nel testo hai un estremo d'integrazione fisso, 1, e il dominio è da trovare in base al valore dell'altro estremo x.
se l'intervallo d'integrazione non può contenere 0, vuol dire che lo zero non deve essere compreso tra x e 1. se dai alla x un qualsisi valore negativo, la f(x) dovrebbe assumere valore $-int_x^1 "..."= -int_x^0 "..."-int_0^1 "..."$. è possibile?

Praticamente la x può variare in tutto il dominio della funzione integranda.E a me la funzione integranda risulta definita per quelunque valore tranne lo $0$; ora se la $x>0$ nn ci sn problemi la funzione integranda è limitata continua e quindi integrabile secondo riemann; segue che la funzione integranda assume significato.Ora però non so più cm proseguire per calcolare il dominio delle funzione integrale.

[adaBTTLS1]

se predi ad esempio x=-1, valore per cui la funzione integranda è ben definita, come fai a trovare il valore della funzione se $0 in (-1,1)$ ?
è chiara l'obiezione? non è detto che non si possa fare, ma in tal caso anche $0$ farebbe parte del dominio della funzione integrale.

[identikit_man-votailprof]

Capito quindi tu dici che se considero $x=-1$ in qusto caso l'integrale diventerebbe: $-int_-1^1e^(t^2)/tdt$; ma essendo il punto 0 compreso nelli'intervallo d'integrazione; devo scomporre l'integrale in 2 pezzi: $-int_-1^0e^(t^2)/tdt-int_0^1e^(t^2)/tdt$ e quindi si tratta della somma di due integrali generalizzati che nn sono sommabili.E' giusto o sbgliato il mio ragionamento.

[adaBTTLS1]

il procedimento è giusto.
perché -1 appartenga al dominio è necessario (e non sufficiente) che 0 appartenga al dominio.
per verificare che i due integrali generalizzati siano ben definiti devi procedere con i due limiti destro e sinistro delle primitive o ricorrere a funzioni diverse per il confronto.
"integrali sommabili" non l'ho mai sentito...
ciao.

[identikit_man-votailprof]

Allora nel mio libro di anlisi per sommabile si intende il caso in cui l'integrale è un valore finito invece integrabile ma nn sommabile vuol dire ke l'ntegrale esiste ma nn ha valore finito.Io per verificare se quell'integrale esiste finito ho utilizzato questo corollario:
Sia f una funzione definita in $[a,b]-c$ con c in $[a,b]$ e nn limitata in un intorno di c.Supponiamo f integrabile secondo Riemann in ogni intervallo chiuso chiuso contenuto in $[a,b]-c$.Supponiamo inoltre che per $\alpha>0$ esiste il seguente limite:
$lim_(x->c) |f(x)||x-c|^\alpha=l$
allora:
1. se $0=1$.
Poi vi sn altre possibilità.Praticamente queto è un corollario per riuscire a capire se un integrale generalizzato esiste finito o meno senza calcolarlo.Esiste anche la versione nel caso degli integrali impropri.

[adaBTTLS1]

immagino che il libro dica "funzione sommabile" e non "integrale sommabile"...
il confronto che avevi fatto con $t^alpha$ mi era sfuggito, va bene, e quindi la cosa elimina ogni dubbio sull'eventuale sommabilità in zero.
inoltre $+oo$ non è un numero reale ed il caso dell'integrale improprio all'infinito non mi pare che faccia parte dell'esercizio.

[identikit_man-votailprof]

Scusa adaBTTLS; quindi a questo punto se ho una funzione integranda che risulta essere definita così: $]-\infty,+\infty[$; qualunque siano gli estremi di integrazione; posso dire che il dominio della funzione integrale coincide con quello della funzione integranda.

[adaBTTLS1]

a me viene in mente "ben definita $AA x in RR$ e continua quasi ovunque".
non ti fidare completamente, perché sono secoli che non tratto più questi argomenti.
cerca conferme o smentite. ciao.

[identikit_man-votailprof]

Ok grazie mille; invece per quanto riguarda la positività della funzione integrale come si studia?
Nel caso avessi una semplice funzione mi basterebbe porre $f(x)>0$; ma inevce in questo casop come si fa?

[adaBTTLS1]

non mi viene in mente un risultato significativo che non sia banale.
lo studio sulla singola funzione si fa nello stesso modo, trovi la primitiva e quindi la funzione integrale ... e la studi.
ma un risultato generale ... non so: basta pensare a com'è fatta ad esempio la funzione $int_0^x\sintdt$ che qualche dubbio dovrebbe venire ...

[identikit_man-votailprof]

Io nn lo sto riuscendo a capire; però ad esempio nel mio esercizio la funzione integrale è definita come: $int_(1)^(x) e^(t^2)/t$ e il mio prof senza calcolare primitiva e quindi senza svolgere integrale conclude subito che:$f(x)>0$ per $x>1$ e invece $f(x)<1$ per $0

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[Camillo]

Per valutare il segno della funzione integrale ricorda che $f(x) = int_1^x (e^(t^2)dt)/t $ rappresenta l'area sottesa tra la funzione integranda e l'asse delle x .La funzione integranda è positiva per $x > 0 $ e quindi :
-Se $ x> 1 $ chiaramente la funzione integrale sarà positiva .
Se invece $ 0 Naturalmnete in $ x= 1 $ la funzione integrale vale $0 $ in quanto $int_1^1 (e^(t^2)dt)/t =0 $

[identikit_man-votailprof]

quindi praticamente il segno delle funzione integranda dipende dall'estremo d'integrazione e dalla proprietà dell'integrale; giusto.
Perchè se $x>1$ allora l'integrale risulta positivo; invece se $0

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[adaBTTLS1]

la tua funzione integranda è positiva nel suo dominio.
dunque se x>1 hai un integrale di una funzione positiva "da sinistra a destra" e dunque la funzione integrale è positiva.
sarebbe positiva anche se fosse un integrale da un valore più grande ad un valore più piccolo e la funzione integranda fosse negativa.
al contrario (funzione integrale negativa) se la funzione integranda è negativa e vai da sinistra a destra oppure se la funzione integranda è positiva e vai da destra a sinistra...
ma questi sono i casi che io considero banali...
se hai una funzione non sempre dello stesso segno che cosa puoi dire? poco, almeno a priori. e per questo ti ho invitato a riflettere su quella con le funzioni goniometriche...

[identikit_man-votailprof]

Ok grazie 1000 ho capito; ora provo a fare esercizi e se ho ancora dubbi vi faccio sapere.Per fortuna ci siete voi.

[identikit_man-votailprof]

Sn tornato ; con una nuova domanda.Sapreste dirmi perchè se la funzione integranda è dispari la funzione integrale è pari e viceversa?Esiste una dimostrazione?