Dominio Funzione integrale.
Ciao a tutti in un compito di analisi ho trovato questa funzione integrale.
$f(x)=\int_1^xe^(t^2)/tdt$.Qulcuno mi può spiegare come si calcola il dominio di questa funzione?
Io ho ragionato così la funzione integranda è definita nell'intervallo $]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; ora per definizione di funzione integrale la x puù variare in tutto quest'intervallo.Quindi distingua 3 casi:
1) se $x>0$ allora si viene a creare un intervallo di integrazione chiuso e limitato qui la funzione è sia limitata che continua e quindi integrabile secondo riemann.
2) se $x=0$ avrò che gli estremi di integrazione saranno finiti ma la funzione integranda risulterà nn limitata; quindi integrale generalizzato.A questo punto applico il corollario del confronto ovvero:
$lim_(t->0^+)(e^(t^2)/t t^\alpha)$ ora per $\alpha=1$ il limite viene 1 quindi la funzione integranda è integrabile; ma non sommabile.Quindi l'integrale non assume valore finito; e quindi lo 0 nn va considerato nel dominio.
3)se invece x<0 la funzione integranda è sempre continua e quindi integrabile.
quindi il dominio della funzione integrale alla fine dovrebbe essere:
$]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; invece nella soluzione risulta essere solo $]0,+\infty[$.come mai?Dove ho sbagliato?
$f(x)=\int_1^xe^(t^2)/tdt$.Qulcuno mi può spiegare come si calcola il dominio di questa funzione?
Io ho ragionato così la funzione integranda è definita nell'intervallo $]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; ora per definizione di funzione integrale la x puù variare in tutto quest'intervallo.Quindi distingua 3 casi:
1) se $x>0$ allora si viene a creare un intervallo di integrazione chiuso e limitato qui la funzione è sia limitata che continua e quindi integrabile secondo riemann.
2) se $x=0$ avrò che gli estremi di integrazione saranno finiti ma la funzione integranda risulterà nn limitata; quindi integrale generalizzato.A questo punto applico il corollario del confronto ovvero:
$lim_(t->0^+)(e^(t^2)/t t^\alpha)$ ora per $\alpha=1$ il limite viene 1 quindi la funzione integranda è integrabile; ma non sommabile.Quindi l'integrale non assume valore finito; e quindi lo 0 nn va considerato nel dominio.
3)se invece x<0 la funzione integranda è sempre continua e quindi integrabile.
quindi il dominio della funzione integrale alla fine dovrebbe essere:
$]-\infty,0[ U ]0,+\infty[$; invece nella soluzione risulta essere solo $]0,+\infty[$.come mai?Dove ho sbagliato?
Risposte
Prova a farla tu!
Poni $F(x)=\int_0^(x) f(t)" d"t$, calcola $F(-x)$ e fai la sostituzione $tau=-t$ nell'integrale che definisce $F$: a questo punto puoi usare la parità/disparità di $f$, le proprietà dell'integrale ed il fatto che la variabile d'integrazione è "muta" per ottenere il risultato che ti interessa.
Non è difficile; basta saper usare le proprietà basilari degli integrali definiti.
Poni $F(x)=\int_0^(x) f(t)" d"t$, calcola $F(-x)$ e fai la sostituzione $tau=-t$ nell'integrale che definisce $F$: a questo punto puoi usare la parità/disparità di $f$, le proprietà dell'integrale ed il fatto che la variabile d'integrazione è "muta" per ottenere il risultato che ti interessa.
Non è difficile; basta saper usare le proprietà basilari degli integrali definiti.
Allora ci provo; suppongo inizialmente che la funzione integranda sia pari questo vuol dire che $f(t)=f(-t)$
Ora mi calcolo $F(-x)$.
$F(-x)=int_(0)^(-x)f(t)=-int_(-x)^(0)f(t)dt$ questo è il primo passo.
Ora mi calcolo $F(-x)$.
$F(-x)=int_(0)^(-x)f(t)=-int_(-x)^(0)f(t)dt$ questo è il primo passo.
Ok... Però non correre. 
Voglio dire se fai la sostituzione $t=-tau$ dopo aver scritto $F(-x)=\int_0^(-x) f(t)" d"t$ viene tutto più facile: in questo modo trovi:
$"d"t=-"d"tau \quad$ e $\quad \{(t=0 => tau =0),(t=-x => tau =x):}$
quindi hai $\int_0^(-x) f(t)" d"t=\ldots$ (continua tu
).
Voglio dire se fai la sostituzione $t=-tau$ dopo aver scritto $F(-x)=\int_0^(-x) f(t)" d"t$ viene tutto più facile: in questo modo trovi:
$"d"t=-"d"tau \quad$ e $\quad \{(t=0 => tau =0),(t=-x => tau =x):}$
quindi hai $\int_0^(-x) f(t)" d"t=\ldots$ (continua tu
).
Allora io avevo pensato di fare così:
Suppongo inizialmente la funzione integranda pari; questo vuol dire che $f(-x)=f(x)$ quindi questo vuol dire che:
$int_(-x)^(0)f(t)=int_(0)^(x)f(t)$ cioè le due arie sn uguali.A questo punto scrivo che:
$F(-x)=int_(0)^(-x)f(t)=-int_(-x)^(0)f(t)=-int_(0)^(x)f(t)dt=-F(x)$ quindi funzione inetgrale dispari....Ma questa cosa del viceversa vale solo quando si ha $F(x)=int_(0)^(x)f(t)dt$?
Suppongo inizialmente la funzione integranda pari; questo vuol dire che $f(-x)=f(x)$ quindi questo vuol dire che:
$int_(-x)^(0)f(t)=int_(0)^(x)f(t)$ cioè le due arie sn uguali.A questo punto scrivo che:
$F(-x)=int_(0)^(-x)f(t)=-int_(-x)^(0)f(t)=-int_(0)^(x)f(t)dt=-F(x)$ quindi funzione inetgrale dispari....Ma questa cosa del viceversa vale solo quando si ha $F(x)=int_(0)^(x)f(t)dt$?
Svolgendo sempre lo stesso esercizio; ad un certo punto devo calcolare l'asintoto orizzontale; quindi faccio il seguente limite $lim_(x->\infty)int_(0)^(x)f(t)$ quindi si tratta di integrale improprio e siccome a me interessa sapere se è un numero o un infinito.Allora applico il corollario.E quindi scrivo: $lim_(t->\infty) e^(-t^2)/sqrt(1+t^2) t^(\alpha)$ ora questo lo posso anche scrivere come $lim_(t->\infty) t^(\alpha)/(t sqrt(1/t^2+1)) 1/e^(t^2)$ ora secondo voi per quali valori di $\alpha$; quest'integrale è un numero?
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo