Dominio di funzione
Buonasera,
Calcolare il dominio di \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx}}\)
Sistema
\(\displaystyle \begin{cases} senx \ne 0 \\ \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} x\ne 2\pi+2k\pi \vee x\ne \pi+2k\pi \\ \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \end{cases} \)
invece per \(\displaystyle \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \Longleftrightarrow \begin{cases} N \ge 0 :cosx\ge -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ D >0 : senx \ge 0\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} N \ge 0 : \tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \le x \le \tfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ D >0 : 2\pi(1+k) \le x \le \pi(1+2k) \end{cases} \)
per la regola dei segni ho :
\(\displaystyle \begin{cases} x\ne 2\pi+2k\pi \vee x\ne \pi+2k\pi \\ \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\ne 2\pi+2k\pi \vee x\ne \pi+2k\pi \\ \tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \le x \le \tfrac{\pi}{6}+2k\pi \end{cases} \)
In conclusione ottengo il seguente dominio:
\(\displaystyle \tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \le x \le \tfrac{\pi}{6}+2k\pi. \)
Con \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \)
Non sono convinto del mio svolgimento, vi chiedo una conferma qualora fosse corretto, in caso contrario segnalatemi i miei errori.
Cordiali saluti.
Calcolare il dominio di \(\displaystyle f(x)=\sqrt{\tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx}}\)
Sistema
\(\displaystyle \begin{cases} senx \ne 0 \\ \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \end{cases} \)
\(\displaystyle \begin{cases} x\ne 2\pi+2k\pi \vee x\ne \pi+2k\pi \\ \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \end{cases} \)
invece per \(\displaystyle \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \Longleftrightarrow \begin{cases} N \ge 0 :cosx\ge -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \\ D >0 : senx \ge 0\end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} N \ge 0 : \tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \le x \le \tfrac{\pi}{6}+2k\pi \\ D >0 : 2\pi(1+k) \le x \le \pi(1+2k) \end{cases} \)
per la regola dei segni ho :
\(\displaystyle \begin{cases} x\ne 2\pi+2k\pi \vee x\ne \pi+2k\pi \\ \tfrac{2cosx+\sqrt{3}}{senx} \ge 0 \end{cases} \Longleftrightarrow \begin{cases} x\ne 2\pi+2k\pi \vee x\ne \pi+2k\pi \\ \tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \le x \le \tfrac{\pi}{6}+2k\pi \end{cases} \)
In conclusione ottengo il seguente dominio:
\(\displaystyle \tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \le x \le \tfrac{\pi}{6}+2k\pi. \)
Con \(\displaystyle k\in \mathbb{Z} \)
Non sono convinto del mio svolgimento, vi chiedo una conferma qualora fosse corretto, in caso contrario segnalatemi i miei errori.
Cordiali saluti.
Risposte
Non ho controllato i calcoli, ma ti sei sicuramente scordato il caso $D<0,N<=0$.
Scusami non ho capito cosa vuoi dire, ho imposto la condizione di esistenza del radicale. 
Non ci siamo. Intanto la soluzione che hai messo è sbagliata, ma anche se fosse corretta NON puoi scrivere $5/6 pi+2kpi<=x< =pi/6+2kpi$ perché non è vero che $5/6 pi< pi/6$, devi indicare l'angolo facendo attenzione che si tratta del giro successivo, quindi dovresti chiamarlo $pi/6 +2 pi$, cioè $13/6 pi$.
Poi hai sbagliato la disequazione $cos x >= -sqrt3/2$, che ha come soluzione $-5/6 pi+2kpi<=x<= 5/6 pi+2kpi$
Se non ti piace come ho scritto la soluzione perché hai difficoltà a gestire gli angoli negativi puoi sempre scriverla riferendoti al giro successivo:
$-5/6 pi+2 pi+ 2kpi<=x<= 5/6 pi+2pi+2kpi$ che diventa $7/6 pi+2kpi<=x<= 17/6 pi+2kpi$ oppure indicarla spezzata con dati riferiti solo al primo giro $0+2kpi<=x<= 5/6 pi+2kpi vv 7/6 pi+2kpi<=x<= 2 pi+2kpi$
Poi hai sbagliato la disequazione $cos x >= -sqrt3/2$, che ha come soluzione $-5/6 pi+2kpi<=x<= 5/6 pi+2kpi$
Se non ti piace come ho scritto la soluzione perché hai difficoltà a gestire gli angoli negativi puoi sempre scriverla riferendoti al giro successivo:
$-5/6 pi+2 pi+ 2kpi<=x<= 5/6 pi+2pi+2kpi$ che diventa $7/6 pi+2kpi<=x<= 17/6 pi+2kpi$ oppure indicarla spezzata con dati riferiti solo al primo giro $0+2kpi<=x<= 5/6 pi+2kpi vv 7/6 pi+2kpi<=x<= 2 pi+2kpi$
Buongiorno Melia,
il modo che uso per indicare le soluzioni, è l'ultimo che hai indicato.
Ho delle difficolta con queste espressioni, mi confondo con gli angoli, comunque:
\(\displaystyle cosx\ge -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \Longleftrightarrow\ 0+2k\pi\le x \le\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \vee \tfrac{7\pi}{6}+2k\pi\le x \le 2\pi+2k\pi\)
\(\displaystyle sinx>0 \Longleftrightarrow 0+2k\pi < x < \pi +2k\pi \)
Faccio la regola dei segni, ed ottengo la seguente soluzione:
\(\displaystyle 0+2k\pi\le x \le \tfrac{5\pi}{6} \vee \pi +2k\pi < x \le \tfrac{7\pi}{6} \)
Va bene ?
il modo che uso per indicare le soluzioni, è l'ultimo che hai indicato.
Ho delle difficolta con queste espressioni, mi confondo con gli angoli, comunque:
\(\displaystyle cosx\ge -\tfrac{\sqrt{3}}{2} \Longleftrightarrow\ 0+2k\pi\le x \le\tfrac{5\pi}{6}+2k\pi \vee \tfrac{7\pi}{6}+2k\pi\le x \le 2\pi+2k\pi\)
\(\displaystyle sinx>0 \Longleftrightarrow 0+2k\pi < x < \pi +2k\pi \)
Faccio la regola dei segni, ed ottengo la seguente soluzione:
\(\displaystyle 0+2k\pi\le x \le \tfrac{5\pi}{6} \vee \pi +2k\pi < x \le \tfrac{7\pi}{6} \)
Va bene ?
Va meglio, ma non è del tutto esatto perché mancano dei periodi e sono compresi dei valori in cui si annulla il seno, la forma corretta è
$ 0+2k\pi\< x \le \frac{5\pi}{6}+2k\pi \vee \pi +2k\pi < x \le \frac{7\pi}{6}+2k\pi$
$ 0+2k\pi\< x \le \frac{5\pi}{6}+2k\pi \vee \pi +2k\pi < x \le \frac{7\pi}{6}+2k\pi$
Esattamente !!
nella fretta non ho riportati alcuni periodi.
Comunque quando dici:
intendi la prima condizione che ho imposto del sistema ?
nella fretta non ho riportati alcuni periodi.
Comunque quando dici:
"@melia":
e sono compresi dei valori in cui si annulla il seno
intendi la prima condizione che ho imposto del sistema ?
Intendo che hai messo l’uguaglianza in $0$ che non va messa.
Grazie, sei stata gentilissima.
Ciao
Ciao
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