Dominio di analiticità

[Nick_931]

Salve ragazzi =) ho un esercizio in cui mi chiede di stabilire se le funzioni composte date sono analitiche e determinarne il dominio supponendo che la funzione f(z) sia analitica in D. Tra tutte le funzioni che mi da, ce ne sono tre che non riesco a risolvere

$arg f(z)$

questa funzione composta dovrebbe essere

$\arctan( \frac{u(x,y)}{v(x,y)} )$

ora questa non è una funzione analitica in quanto l'argomento dell'arcotangente non soddisfa le condizioni di Cauchy esatto?

Considerazioni analoghe possono essere fatte per la funzione composta

$|f(z)|$

mentre la funzione

$\bar{f(\bar{z})}$

?

[Seneca1]

$|f(z)|$ è una funzione reale di variabile complessa, ergo non può essere olomorfa [teo. della mappa aperta].

La funzione \( g = \overline{f(\overline{z})} \), invece, è olomorfa nell'insieme $D^s = \{ z \in \mathbb{C} : \overline{z} \in D \}$ , ovvero il simmetrico di $D$ rispetto all'asse reale. Il modo più veloce per vederlo è considerare per $g$ l'equazione di Cauchy-Riemann così scritta \[ \frac{\partial}{\partial \overline{z}} g = 0 \]

[gugo82]

"Seneca":$|f(z)|$ è una funzione reale di variabile complessa, ergo non può essere olomorfa [teo. della mappa aperta].

Questo segue anche dalle condizioni di Cauchy-Riemann.
Inoltre, questo ragionamento si applica anche a \(\operatorname{arg} f(z)\).

[Nick_931]

$|f(z)|$: Quindi l'analiticità è verificata considerando che

$\frac{\partial}{\partial x}\sqrt{u^2+v^2} \ne \frac{\partial}{\partial y}\sqrt{u^2+v^2}$

per ogni punto al piano complesso

Inoltre $ \bar{f(\bar{z})} $ è la funzione coniugata di $ {f(\bar{z})} $?

[Nick_931]