Dominio- Derivata funzione logaritmica

[Danying]

salve ; vorrei una dritta sulla seguente funzione

$ log (x+sqrt(x^2+1))$

sappiamo che il logaritmo è definito per $ x in [0,+infty)$


nella seguente funzione ho pensato che è definita in tutto R... poichè qualsiasi valore negativo assegniamo a x mi risulta sempre $log1=0$

ma guardando il grafico della funzione ho visto che vi sono valori di ordinata negativi...

quindi quale ragionamento bisogna fare ?

sicuramente ho eseguito dei calcoli sconsiderati e desideravo un consiglio su come interpretare questa funzione....?

grazie.

[klarence1]

"mat100":salve ; vorrei una dritta sulla seguente funzione

$ log (x+sqrt(x^2+1))$

sappiamo che il logaritmo è definito per $ x in [0,+infty)$

grazie.

Attenzione il logaritmo è definito dove il suo argomento è maggiore di zero (quindi in generale non per $x>0$)
Quindi in questo caso la funzione è definita per $ (x+sqrt(x^2+1))>0$. Basta studiare questa disequazione.

[Danying]

"klarence":[quote="mat100"]salve ; vorrei una dritta sulla seguente funzione

$ log (x+sqrt(x^2+1))$

sappiamo che il logaritmo è definito per $ x in [0,+infty)$

grazie.

Attenzione il logaritmo è definito dove il suo argomento è maggiore di zero (quindi in generale non per $x>0$)
Quindi in questo caso la funzione è definita per $ (x+sqrt(x^2+1))>0$. Basta studiare questa disequazione.[/quote]

ok. fino a quà ci siamo $ AA x in RR$

pensavo però che la funzione log era definita solo per valori positivi...

cmq in questo caso scegliendo un x negativo qualsiasi

$x=-2$ è sbagliato considerare $-2+ sqrt(4+1)= -2+2 +1 = 1$ ?

[klarence1]

"mat100":

pensavo però che la funzione log era definita solo per valori positivi...

Infatti è definita per i valori positivi dell'argomento e non di $x$.
Se per esempio ho $f(x)=log(x)$ allora è definita per $x>0$ poichè l'argomento del logaritmo è proprio $x$. Se per esempio ho $f(x)=log(x+1)$ è definita per $x+1>0$ perchè l'argomento non è $x$ ma $x+1$

[Danying]

"klarence":[quote="mat100"]

pensavo però che la funzione log era definita solo per valori positivi...

Infatti è definita per i valori positivi dell'argomento e non di $x$.
Se per esempio ho $f(x)=log(x)$ allora è definita per $x>0$ poichè l'argomento del logaritmo è proprio $x$. Se per esempio ho $f(x)=log(x+1)$ è definita per $x+1>0$ perchè l'argomento non è $x$ ma $x+1$[/quote]

ritornando al calcolo fatto da me in precedenza...

sostituendo qualsiasi x negativa a me viene sempre log1

dov'è l'errore ?

[itpareid]

"mat100":

$x=-2$ è sbagliato considerare $-2+ sqrt(4+1)= -2+2 +1 = 1$ ?

eccerto che è sbagliato, $\sqrt (4+1)=\sqrt 5$ e non $\sqrt 4 + \sqrt 1$

[Danying]

"itpareid":[quote="mat100"]

$x=-2$ è sbagliato considerare $-2+ sqrt(4+1)= -2+2 +1 = 1$ ?

eccerto che è sbagliato, $\sqrt (4+1)=\sqrt 5$ e non $\sqrt 4 + \sqrt 1$[/quote]

capito

l'argomento del logaritmo in questione è positivo $AA x in RR$ $ [x+ sqrt(x^2+1)]$ e mai negativo....


il segno della funzione

cioè $log (x+ sqrt(x^2+1) ) <0$ è definita per $x<0$ , ma come fa ad essere definita così ? se l'argomento è positivo per tutti i reali ?

[itpareid]

l'argomento è positivo per tutti i reali ma non i valori che assume la funzione...anche $log x$ assume valori negativi nel suo dominio...

[Danying]

"itpareid":l'argomento è positivo per tutti i reali ma non i valori che assume la funzione...anche $log x$ assume valori negativi nel suo dominio...

si ma li assume nei punti di ascissa positivi ;

....è questa la differenza....

[itpareid]

sì perchè è quello il suo dominio...la tua funzione è definita su tutto $\RR$ quindi assumerà valori anche per le $x$ negative

[itpareid]

allora: tu sai che il logaritmo è una funzione monotona crescente (se la base è maggiore di 1).
in questo caso hai dominio tutto $\RR$, per prima cosa guardi se la funzione ammette degli zeri (in questo caso si ha uno zero quando l'argomento è uguale a 1): nella tua funzione lo zero è proprio per $x=0$. ora fai il comportamento agli estremi $x \to \pm \infty$ e sfruttando anche la monotonia vedi dove la funzione è positiva e negativa

[zipangulu]

bè innanzitutto il dominio non è vero che è $|R$,il dominio è dato dal porre l'argomento del logaritmo maggiore di zero:
$f(x)=log(z(x))$
per il dominio quindi studiamo:
$z(x)>0$

[itpareid]

allora qual è il dominio?

[zipangulu]

l'ho detto sopra:
$z(x)>0$

esempio:
ho la funzione:
$y=ln(x^5+5)$
dominio:
$x^5+5>0$
$x>root5(-5)$

[itpareid]

prova a risolverla e dimmi cosa ti viene in questo caso specifico

[zipangulu]

nel tuo caso,non so se ti sei dimenticato di scrivere qualche dettaglio aggiuntivo,ma dai dati posso solo dedurre che:
deve essere:
$z(x)>0$
e so dai dati che:
$z(0)=1$
quindi suppongo che la $z(x)$ sia del tipo:
$z(x)=x+1$
o una espressione analoga
ma non posso dire niente di certo,secondo me necessita qualche altro dato.

[itpareid]

ma ti sei letto tutto il post prima di scrivere?

[zipangulu]

ops...no scusa ma ho letto solo la pagina 2...sorry!
me ne sono accorto solo ora!

[itpareid]

[zipangulu]

il dominio è vero che è $|R$
infatti studiando la disequazione:
$x+sqrt(x^2+1)>0$
esce vera per ogni x appartenente ad $|R$
la funzione sarà negativa dove:
$log(x+sqrt(x^2+1))<0$
utilizzando la definizione di logaritmo (il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento),e considerando il logaritmo in base e(numero di nepero):
la disequazione sopra diventa:
$x+sqrt(x^2+1) $x+sqrt(x^2+1)<1$
e risolvendo la disequazione di sopra esce che la funzione assume valori negativi per x<0
in maniera analoga vediamo dove assume valori positivi,risolvendo la disequazione:
$ln(x+sqrt(x^2+1))>0$
da cui esce per $x>0$
mentre in $x=0$ la funzione assume il valore zero

spero di non aver commesso errori visto che l'ho guardata molto velocemente e alla buona

ciao!

[Danying]

"zipangulu":il dominio è vero che è $|R$
infatti studiando la disequazione:
$x+sqrt(x^2+1)>0$
esce vera per ogni x appartenente ad $|R$
la funzione sarà negativa dove:
$log(x+sqrt(x^2+1))<0$
utilizzando la definizione di logaritmo (il logaritmo è l'esponente da dare alla base per ottenere l'argomento),e considerando il logaritmo in base e(numero di nepero):
la disequazione sopra diventa:
$x+sqrt(x^2+1) $x+sqrt(x^2+1)<1$
e risolvendo la disequazione di sopra esce che la funzione assume valori negativi per x<0
in maniera analoga vediamo dove assume valori positivi,risolvendo la disequazione:
$ln(x+sqrt(x^2+1))>0$
da cui esce per $x>0$
mentre in $x=0$ la funzione assume il valore zero

spero di non aver commesso errori visto che l'ho guardata molto velocemente e alla buona

ciao!

perchè dai a $e$ esponente $0$ ... ? l'argomento non è definito ma è una funzione.... il logaritmo varia al variare dell'argomento essendo appunto una funzione no ?

in questo caso hai posto l'argomento del logaritmo minore a cosa... alla base elevato a zero ... perchè?

perdona le mie lacune sulle disuguaglianze con i log

grazie delle delucidazioni