Dominio- Derivata funzione logaritmica

[Danying]

salve ; vorrei una dritta sulla seguente funzione

$ log (x+sqrt(x^2+1))$

sappiamo che il logaritmo è definito per $ x in [0,+infty)$


nella seguente funzione ho pensato che è definita in tutto R... poichè qualsiasi valore negativo assegniamo a x mi risulta sempre $log1=0$

ma guardando il grafico della funzione ho visto che vi sono valori di ordinata negativi...

quindi quale ragionamento bisogna fare ?

sicuramente ho eseguito dei calcoli sconsiderati e desideravo un consiglio su come interpretare questa funzione....?

grazie.

[itpareid]

ti ha scritto come ha fatto: ha usato la definizione.
se vuoi manca un passaggio: $e^{log(x+\sqrt{x^2+1})}

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[zipangulu]

$log(x+sqrt(x^2+1))<0$
fin qui ci sei che è una disequazione?E' come dire tramite questa espressione,trovare i valori di x,per cui la funzione corrispondente assume valori minori di zero,cioè $y<0$
e poi sfrutti le proprietà dei logaritmi come ti ho spiegato sopra
scusa ma non ho molto tempo da dedicarti visto che devo studiare molto a fronte di un esame fra due giorni...

[Danying]

"zipangulu":$log(x+sqrt(x^2+1))<0$
fin qui ci sei che è una disequazione?E' come dire tramite questa espressione,trovare i valori di x,per cui la funzione corrispondente assume valori minori di zero,cioè $y<0$
e poi sfrutti le proprietà dei logaritmi come ti ho spiegato sopra
scusa ma non ho molto tempo da dedicarti visto che devo studiare molto a fronte di un esame fra due giorni...

figuratii thankxxxxx!


ps:

nel calcolo della derivata di $f(x)= log( x+ sqrt(x^2+1))$ ho svolto e mi viene $f'(x)= (1)/(x+ sqrt(x^2+1))$


ma il risultato esatto è : $1/ sqrt(x^2+1)$


qual'è la linea teorica da adottare in derivate simili?

[itpareid]

dicasi "derivata di funzione composta":in questo caso devi moltiplicare il risultato che hai ottenuto per la derivata dell'argomento

[zipangulu]

$f(x)=log(x+sqrt(x^2+1))$
$f'(x)=(1/(x+sqrt(x^2+1)))*(1+(2x)/(2sqrt(x^2+1)))$
svolgendo tutti i calcoli arrivi a trovare:
$f'(x)=1/(sqrt(x^2+1))$
si tratta di una derivata di una funzione composta,hai dimenticato che oltre a fare la derivata del logaritmo poi devi moltiplicare per la derivata dell'argomento del logaritmo

[Danying]

"zipangulu":$f(x)=log(x+sqrt(x^2+1))$
$f'(x)=(1/(x+sqrt(x^2+1)))*(1+(2x)/(2sqrt(x^2+1)))$
svolgendo tutti i calcoli arrivi a trovare:
$f'(x)=1/(sqrt(x^2+1))$
si tratta di una derivata di una funzione composta,hai dimenticato che oltre a fare la derivata del logaritmo poi devi moltiplicare per la derivata dell'argomento del logaritmo

ora ricontrollo i calcoli:

una domanda... ma nel caso di calcoli più o meno lunghi... possiamo semplificare i fattori prima di operare:

mi spiego meglio ad esempio

$(1+(2x)/(2sqrt(x^2+1)))$ potremmo scriverlo come $(1+(x)/(sqrt(x^2+1)))$ e quindi poi moltiplicare...

o sballa il risultato?

[zipangulu]

certo che puoi...anzi è sempre conveniente farlo...prtarlo avanti ti darebbe calcoli + alti quindi più facilità di confondersi

[Danying]

"zipangulu":$f(x)=log(x+sqrt(x^2+1))$
$f'(x)=(1/(x+sqrt(x^2+1)))*(1+(2x)/(2sqrt(x^2+1)))$
svolgendo tutti i calcoli arrivi a trovare:
$f'(x)=1/(sqrt(x^2+1))$
si tratta di una derivata di una funzione composta,hai dimenticato che oltre a fare la derivata del logaritmo poi devi moltiplicare per la derivata dell'argomento del logaritmo

svolgendo la moltiplicazione ...riscriviamo il primo termine dato che si moltiplica per uno ... mentre nella seconda moltiplicazione semplificando le $x$ restano solo le radici da moltiplicare a denominatore...
se ho svolto in maniera giusta:

$= ( (1)/(x+sqrt(x^2+1))+ (1)/(x^2+1))$


penso sia sbagliato cmq...

[zipangulu]

hai svolto i calcoli sbagliati...ricontrolla!

[zipangulu]

fino alla derivata del logaritmo ci sei...ora ragiona e scrivi come procedi per la derivata dell'argomento del logaritmo
ovviamente devi moltiplicare la derivata del logaritmo per la derivata del suo argomento...

[Danying]

"zipangulu":fino alla derivata del logaritmo ci sei...ora ragiona e scrivi come procedi per la derivata dell'argomento del logaritmo
ovviamente devi moltiplicare la derivata del logaritmo per la derivata del suo argomento...

$f'(x)=(1/(x+sqrt(x^2+1)))*(1+(2x)/(2sqrt(x^2+1)))= $

scrivo i passaggi della seconda moltiplicazione:

$( (1)/(x+sqrt(x^2+1)) * ( x)/(sqrt(x^2+1)))=$

semplifico le $ x$ e dovrebbe diventare

$( (1)/(sqrt(x^2+1)) * ( 1)/(sqrt(x^2+1)))= 1/(x^2+1)$

dove sta l'errore ?

[zipangulu]

$( (1)/(x+sqrt(x^2+1)) * ( x)/(sqrt(x^2+1)))=$

semplifico le $ x$ e dovrebbe diventare

nonono...che hai fatto?
tra le due espressioni non c'è un "per" ma un "+" e poi deve essere:
$( (1)/(x+sqrt(x^2+1)) + ( x)/((x+sqrt(x^2+1))(sqrt(x^2+1))))
riguardalo ora!
facendo il minimo comune multiplo vedi che ciò che ti resta è proprio il risultato corretto!

[Danying]

"zipangulu":

$( (1)/(x+sqrt(x^2+1)) * ( x)/(sqrt(x^2+1)))=$

semplifico le $ x$ e dovrebbe diventare

nonono...che hai fatto?
tra le due espressioni non c'è un "per" ma un "+" e poi deve essere:
$( (1)/(x+sqrt(x^2+1)) + ( x)/((x+sqrt(x^2+1))(sqrt(x^2+1))))
riguardalo ora!
facendo il minimo comune multiplo vedi che ciò che ti resta è proprio il risultato corretto!

scusa ma:

$f'(x)=(1/(x+sqrt(x^2+1)))*(1+(2x)/(2sqrt(x^2+1)))= $

non è del tipo $a * ( c+b)= ac+ab ?$

quindi :

$=1/(x+sqrt(x^2+1))*1= 1/(x+sqrt(x^2+1)) +$ ...

.. $[1/(x+sqrt(x^2+1))* (x)/(sqrt(x^2+1)]]$ <------sono i calcoli della moltiplicazione con il secondo fattore che non tornano ....

spero di non aver detto una cavolata...

[zipangulu]

alla seconda moltiplicazione non puoi mica semplificare,come hai fatto tu nel post sopra,la x al nominatore con la x al denominatore!
non hai mica una forma del tipo:
$1/(x(...))*x$
NO! non ce l'hai!
riesci a mettere in evidenza al denominatore una x che mltiplica tutto il resto,in modo da semplificarla con quella al nominatore?NO!
quindi la seconda moltiplicazione diventa:
$x/((x+sqrt(x^2+1))(sqrt(x^2+1))$

[Danying]

"zipangulu":

$( (1)/(x+sqrt(x^2+1)) * ( x)/(sqrt(x^2+1)))=$

semplifico le $ x$ e dovrebbe diventare

nonono...che hai fatto?
tra le due espressioni non c'è un "per" ma un "+" e poi deve essere:
$( (1)/(x+sqrt(x^2+1)) + ( x)/((x+sqrt(x^2+1))(sqrt(x^2+1))))
riguardalo ora!
facendo il minimo comune multiplo vedi che ciò che ti resta è proprio il risultato corretto!

prefetto ora i conti tornano !

di solito mi capita spesso di semplificare x che moltiplicano radici...

ma è un errore grossolano...

grazie mille