Domande flash - Parametrizzazioni di curve e superfici
Considero il sottoinsieme \(\Gamma \) di \(\mathbb{R}^3 \) definito da \[\begin{cases} x^2 + y^2=1 \\ z= y^2 -x^2 \end{cases} \]
che con due conti risulta essere una varietà differenziale \(1\)-dimensionale.
Volendo trovare una parametrizzazione immersiva di \( \Gamma \), come opero?
La cosa più spontanea che mi verrebbe da fare è porre \(\displaystyle x(r,\theta)=\cos \theta \) e \(\displaystyle y(r, \theta)=\sin \theta \) (posizione che verifica la prima relazione del sistema) donde ne discende che \(\displaystyle z(r,\theta)=\sin^2 \theta - \cos^2 \theta \).
Ammesso che la parametrizzazione sia immersiva - e per verificarlo dovrei studiare il differenziale della funzione \[\displaystyle \varphi(r,\theta)=(\cos \theta, \sin \theta,\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) \]
vi pare una posizione ragionevole?
Edit. Aggiungo una domanda intorno all' "immersività" della parametrizzazione. Infatti se la considero come funzione nella sola variabile \(\displaystyle \theta \), visto che \(\displaystyle r \) è come se fosse "muta", il suo differenziale è sicuramente iniettivo... Ma è lecito farlo? Perché, in caso contrario, la matrice di \(\displaystyle \text{d} \phi(r, \theta) \) ha una riga di zeri, quindi la parametrizzazione non è immersiva.
che con due conti risulta essere una varietà differenziale \(1\)-dimensionale.
Volendo trovare una parametrizzazione immersiva di \( \Gamma \), come opero?
La cosa più spontanea che mi verrebbe da fare è porre \(\displaystyle x(r,\theta)=\cos \theta \) e \(\displaystyle y(r, \theta)=\sin \theta \) (posizione che verifica la prima relazione del sistema) donde ne discende che \(\displaystyle z(r,\theta)=\sin^2 \theta - \cos^2 \theta \).
Ammesso che la parametrizzazione sia immersiva - e per verificarlo dovrei studiare il differenziale della funzione \[\displaystyle \varphi(r,\theta)=(\cos \theta, \sin \theta,\sin^2 \theta - \cos^2 \theta) \]
vi pare una posizione ragionevole?
Edit. Aggiungo una domanda intorno all' "immersività" della parametrizzazione. Infatti se la considero come funzione nella sola variabile \(\displaystyle \theta \), visto che \(\displaystyle r \) è come se fosse "muta", il suo differenziale è sicuramente iniettivo... Ma è lecito farlo? Perché, in caso contrario, la matrice di \(\displaystyle \text{d} \phi(r, \theta) \) ha una riga di zeri, quindi la parametrizzazione non è immersiva.
Risposte
Passando di qua per caso: sei sicuro che \(\varphi\) dipenda da \(r\)? O meglio: \(r\) serve?
Passando al tecnico: che intendi per immersione?
Passando al tecnico: che intendi per immersione?
Intanto ti ringrazio per la risposta.
Appunto... Direi di no.
Ti riporto direttamente la definizione dal De Marco:
Siano \(X\), \(Y\) spazi di dimensione finita; sia \(D \subseteq X\), \(D\) aperto in \(X\), \(f \in \mathcal{C}^{l}(D,Y) \) con \(l \ge 1\). Diciamo che \(f\) è immersiva a \(p \in D\) se \(f'(p)\) - il differenziale di \(f\) calcolato in \(p\) - è iniettiva.
"j18eos":
Passando di qua per caso: sei sicuro che \(\varphi\) dipenda da \(r\)? O meglio: \(r\) serve? [...]
Appunto... Direi di no.
"j18eos":
[...] Passando al tecnico: che intendi per immersione?
Ti riporto direttamente la definizione dal De Marco:
Siano \(X\), \(Y\) spazi di dimensione finita; sia \(D \subseteq X\), \(D\) aperto in \(X\), \(f \in \mathcal{C}^{l}(D,Y) \) con \(l \ge 1\). Diciamo che \(f\) è immersiva a \(p \in D\) se \(f'(p)\) - il differenziale di \(f\) calcolato in \(p\) - è iniettiva.
$\varphi = \varphi(\theta)$ è una curva differenziabile parametrizzata. La sua matrice jacobiana è un vettore colonna (il vettore derivato). Quindi...
EDIT: Aggiungo che $\varphi$ non è esattamente un'immersione, perché in effetti $\varphi : [0, 2 \pi) -> RR^3$ non è definita su un aperto. Tuttavia non penso questo sia troppo problematico... Devi specificare $X$...
EDIT: Aggiungo che $\varphi$ non è esattamente un'immersione, perché in effetti $\varphi : [0, 2 \pi) -> RR^3$ non è definita su un aperto. Tuttavia non penso questo sia troppo problematico... Devi specificare $X$...
"Seneca":
EDIT: Aggiungo che $\varphi$ non è esattamente un'immersione, perché in effetti $\varphi : [0, 2 \pi) -> RR^3$ non è definita su un aperto. Tuttavia non penso questo sia troppo problematico... Devi specificare $X$...
Vero. Grazie!
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo