Domande e osservazioni su elevamenti con comlpessi
si sa che se elevi un numero negativo ad un razionale con denominatore della frazione ridotta ai minimi termini che la rappresenta dispari allora è un numero reale altrimenti è un complesso. Tra l'altro dovrebbe essere della forma $(i sin(pi/n)+cos(pi/n))r$ con $r$ reale e $n$ è l'esponente di 2 nel denominatore della frazione ridotta ai minimi termini. Ora mi ero chiesto come funzionava il caso in cui l'esponente non è razionale. Per esempio $(-1)^((3)^(1/2))$. Allora mi sono chiesto come funzionava il caso più generale di $(a+ib)^(c+id)$ con $a,b,c,d$ in $R$. Ho pensato che se scrivo $(a+ib)=(a^2+b^2)^(1/2)e^(i*arctg(b/a))$ e $(a^2+b^2)^(1/2)=e^(1/2ln(a^2+b^2)))$, usando un po di proprietà delle potenze e dei logaritmi e il fatto che $e^(ia)=i*sin(a)+cos(a)$ ottengo che
$(a+ib)^(c+id)=(a^2+b^2)^(1/2)(i(sin(d/2ln(a^2+b^2)+sin(c*arctg(b/a)))+cos(d/2ln(a^2+b^2)+cos(c*arctg(b/a)))$
che si può ulteriormente complicare usando le formule per la somma dei seni, ma meglio lasciare perdere. Ho commesso degli errori o è giusta la formula?
Per esempio $(-1)^(3^(1/2))=i(sin(3^(1/2)pi)+cos(3^(1/2)pi)$. Un' altra cosa fighissima mi è appena venuta (se ho azzeccato). Considerando la funzione $f:R -> C$, $f(x)=(-1)^x$ si ottiene che $f(x)=i*sin(api)+cos(api)$ poichè i coefficienti di $i$ e il coeffieciente della parte reale sono tali che elevati al quadrato e sommati fanno 1 otteniamo una aspirale che compie un giro completo ogni $1/pi$. Però mi sembra una contraddizione perchè così $f(x)$ assume valori reali solo quando $a$ è intero mentre se $a$ è un razionale il cui denominatore è dispari $f(x)$ dovrebbe essere intero. ???????????????????????????
$(a+ib)^(c+id)=(a^2+b^2)^(1/2)(i(sin(d/2ln(a^2+b^2)+sin(c*arctg(b/a)))+cos(d/2ln(a^2+b^2)+cos(c*arctg(b/a)))$
che si può ulteriormente complicare usando le formule per la somma dei seni, ma meglio lasciare perdere. Ho commesso degli errori o è giusta la formula?
Per esempio $(-1)^(3^(1/2))=i(sin(3^(1/2)pi)+cos(3^(1/2)pi)$. Un' altra cosa fighissima mi è appena venuta (se ho azzeccato). Considerando la funzione $f:R -> C$, $f(x)=(-1)^x$ si ottiene che $f(x)=i*sin(api)+cos(api)$ poichè i coefficienti di $i$ e il coeffieciente della parte reale sono tali che elevati al quadrato e sommati fanno 1 otteniamo una aspirale che compie un giro completo ogni $1/pi$. Però mi sembra una contraddizione perchè così $f(x)$ assume valori reali solo quando $a$ è intero mentre se $a$ è un razionale il cui denominatore è dispari $f(x)$ dovrebbe essere intero. ???????????????????????????
Risposte
"fransis2":scusa ma quando scrivi questo, intendi -1 elevato a ($3^(1/2)$) oppure $(-1)^(3/2)$?
Per esempio $(-1)^(3^(1/2))$.
Ti sei impelagato in una questione sottile.
In generale non si può definire "sensatamente" la potenza a esponente complesso $a\mapsto a^z$ su tutto $CC$.
Per definire tale potenza la strategia "dovrebbe" essere $a^z=e^{z\ln(a)}$; mentre l'esponenziale
$z\mapsto e^z$ è una bellissima funzione definita su tutto $CC$ lo stesso non si può dire per il logartimo.
In effetti se cerchi di invertire l'esponenziale trovi $\ln(a)=\ln(|a|)+i Arg(a)$ e purtroppo l'argomento non ha
un'unica determinazione, né è possibile scegliere una determinazione su $CC$ che sia continua (per esempio se
decide che $Arg(a)$ sia in $]-\pi,\pi]$ ci sarà un salto su tutti gli $a$ con $Re(a)<0$). D'altra parte è inevitabile che
l'esponenziale complesso, essendo periodico di periodo $2\pi i$ non possa essere invertibile. Posso trovare infinite
"determinazioni" del logaritmo nessuna delle quali continua su $CC$, ma continue se si taglia (per esempio) una semiretta
uscente da zero.
Se si esclude una tale semiretta si può allora definire la potenza: per esempio se prendi $CC'=CC - {z\in RR,z\leq0}$
e in $CC'$ definisci il logaritmo usando la determinazione dell'argomento di $z$ tra $-\pi$ e $\pi$, allora la formula $a^z=e^{z\ln(a)}$
definisce "una" possibile funzione potenza su $CC'$. Ce ne sono però (in generale) infinite altre date da
$a^z=e^{z(\ln(a)+2\pi k i)}=e^{z\ln(a)}e^{2\pi k zi}$, al variare di $k$ intero.
Per esempio se $z=1/2$ trovi $a^{1/2}=e^{\ln(a)/2}e^{\pi k i}=(-1)^ke^{\ln(a)/2}$, che da luogo a due determinazioni
possibili (a seconda che $k$ sia pari o dispari). Nessuna di queste determinazioni si "incolla" su $Re(z)<0$.
Se $z$ è un numero reale irrazionale ci sono veramnete infinite determizazioni di $a^z$
Se $z = n$ intero trovi che $e^{2\pi k n i}=1$ quindi trovi la solita funzione $a^n$ e si può controllare che la
funzione "si raccorda" su $Re(z)\leq 0$.
In generale non si può definire "sensatamente" la potenza a esponente complesso $a\mapsto a^z$ su tutto $CC$.
Per definire tale potenza la strategia "dovrebbe" essere $a^z=e^{z\ln(a)}$; mentre l'esponenziale
$z\mapsto e^z$ è una bellissima funzione definita su tutto $CC$ lo stesso non si può dire per il logartimo.
In effetti se cerchi di invertire l'esponenziale trovi $\ln(a)=\ln(|a|)+i Arg(a)$ e purtroppo l'argomento non ha
un'unica determinazione, né è possibile scegliere una determinazione su $CC$ che sia continua (per esempio se
decide che $Arg(a)$ sia in $]-\pi,\pi]$ ci sarà un salto su tutti gli $a$ con $Re(a)<0$). D'altra parte è inevitabile che
l'esponenziale complesso, essendo periodico di periodo $2\pi i$ non possa essere invertibile. Posso trovare infinite
"determinazioni" del logaritmo nessuna delle quali continua su $CC$, ma continue se si taglia (per esempio) una semiretta
uscente da zero.
Se si esclude una tale semiretta si può allora definire la potenza: per esempio se prendi $CC'=CC - {z\in RR,z\leq0}$
e in $CC'$ definisci il logaritmo usando la determinazione dell'argomento di $z$ tra $-\pi$ e $\pi$, allora la formula $a^z=e^{z\ln(a)}$
definisce "una" possibile funzione potenza su $CC'$. Ce ne sono però (in generale) infinite altre date da
$a^z=e^{z(\ln(a)+2\pi k i)}=e^{z\ln(a)}e^{2\pi k zi}$, al variare di $k$ intero.
Per esempio se $z=1/2$ trovi $a^{1/2}=e^{\ln(a)/2}e^{\pi k i}=(-1)^ke^{\ln(a)/2}$, che da luogo a due determinazioni
possibili (a seconda che $k$ sia pari o dispari). Nessuna di queste determinazioni si "incolla" su $Re(z)<0$.
Se $z$ è un numero reale irrazionale ci sono veramnete infinite determizazioni di $a^z$
Se $z = n$ intero trovi che $e^{2\pi k n i}=1$ quindi trovi la solita funzione $a^n$ e si può controllare che la
funzione "si raccorda" su $Re(z)\leq 0$.
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