Domande di teoria> ricapitolazione
Ho un paio di domande di teoria di cui ho ancora dubbi, purtroppo.
1. Teorema ponte tra limiti di successioni e limiti di funzioni dice semplicemente che le successioni sono particolari funzioni, e che quello che succede per i limiti di funzioni succede per i limiti di funzioni, solo che le successioni hanno $n$ a $+oo$, mentre per le funzioni [ diverso.
2. la successione $(-2)^n$ perch[ non [ limitata, mentre $(-1)^n$ si
questi sono i dubbi che mi sono venuti stamattina, spero potete illuminarmi
grazie
1. Teorema ponte tra limiti di successioni e limiti di funzioni dice semplicemente che le successioni sono particolari funzioni, e che quello che succede per i limiti di funzioni succede per i limiti di funzioni, solo che le successioni hanno $n$ a $+oo$, mentre per le funzioni [ diverso.
2. la successione $(-2)^n$ perch[ non [ limitata, mentre $(-1)^n$ si
questi sono i dubbi che mi sono venuti stamattina, spero potete illuminarmi
grazie
Risposte
2) Basta che pensi alla definizione di successione limitata... presa $f(n) = (-1)^n$ hai che $|f(n)| \leq 1$ quindi è limitata. Viceversa, presa $g(n) = (-2)^n$ hai che $g(2n) \rarr \infty$ per $n \rarr infty$ quindi non è limitata superiormente.
Segue dal fatto che nel primo caso il $\text{limsup}$ è $1$, mentre nel secondo è $\+infty$ (chiaramente, ragionamento analogo per il limitata inferiormente...)
Segue dal fatto che nel primo caso il $\text{limsup}$ è $1$, mentre nel secondo è $\+infty$ (chiaramente, ragionamento analogo per il limitata inferiormente...)
Capito, grazie, per la prima va bene quel che ho scritto?
"clever":E come si fa a rispondere? Che è questo teorema ponte? Se riportassi l'enunciato, però per bene mi raccomando, sarebbe meglio. Non sempre basta citare il nome di un teorema per far capire immediatamente a tutti di che si tratta.
per la prima va bene quel che ho scritto?
La matematica è un linguaggio preciso, è stato creato anche per quelle persone che non sopportano l'ambiguità di molti concetti espressi solo a parole. Perchè non approfittare di questa proprietà degli enunciati per essere chiari una buona volta?
clever, anche per la tua carriera studentesca ti consiglio di non impararti o ripassare i teoremi in maniera così "discreta", come accozzaglia di parole.
Qui dissonance mi sento in obbligo di correggerti; il ragazzo si riferisce ad una cosa che esiste, che si chiama proprio Teorema Ponte. Non ne conosco la storia, ma sono intenzionato ad informarmi. Riporto io l'enunciato, approfittando per ripassarmelo, è molto semplice.
Con $RR$* indico la retta estesa, ovvero tutti i punti di $RR$ più i punti di accumulazione ${-oo, +oo}$.
E' importante notare che escludo che $x_0$ sia un valore di ${a_n}$ per un certo $n$ perchè il limite sopra descritto non fornisce alcuna informazione riguardo all'eventuale valore di $f(x_0)$, ammesso che esista.
Qualsiasi testo che ho letto utilizza questo comodo teorema ponte (che appunto, crea un ponte tra limiti di funzioni e limiti di successioni) per dimostrare l'eventuale non esistenza di un limite. Difatti, se prendiamo una funzione trigonometrica come il seno, che oscilla indefinitivamente per $x->+oo$, possiamo dimostrare che $lim_{x->+oo} sen(x)$ non esiste, utilizzando questo valida conseguenza del teorema ponte:
Basti scegliere, nel caso $f(x)=sinx$ le due sottosuccessioni $a_n = frac{pi}{2} + 2npi$ e $b_n = frac{3pi}{2} + 2npi$ e notare che
$lim_{n->+oo} f(a_n) = lim_{n->+oo} sen(a_n) = 1 != -1 = lim_{n->+oo} sen(b_n) = lim_{n->+oo} f(b_n)$
clever, anche per la tua carriera studentesca ti consiglio di non impararti o ripassare i teoremi in maniera così "discreta", come accozzaglia di parole.
"dissonance":E come si fa a rispondere? Che è questo teorema ponte? Se riportassi l'enunciato, però per bene mi raccomando, sarebbe meglio. Non sempre basta citare il nome di un teorema per far capire immediatamente a tutti di che si tratta.[/quote]
[quote="clever"]per la prima va bene quel che ho scritto?
Qui dissonance mi sento in obbligo di correggerti; il ragazzo si riferisce ad una cosa che esiste, che si chiama proprio Teorema Ponte. Non ne conosco la storia, ma sono intenzionato ad informarmi. Riporto io l'enunciato, approfittando per ripassarmelo, è molto semplice.
Con $RR$* indico la retta estesa, ovvero tutti i punti di $RR$ più i punti di accumulazione ${-oo, +oo}$.
Sia $f : X->RR$ e sia $x_0$ un punto di accumulazione per $X$. Allora
$lim_{x->x_0} f(x) = L in RR$*
se e solo se per ogni successione ${a_n}$ a valori in $X-{x_0}$ e convergente a $x_0$
$lim_{n->+oo} f(a_n) = L in RR$*
E' importante notare che escludo che $x_0$ sia un valore di ${a_n}$ per un certo $n$ perchè il limite sopra descritto non fornisce alcuna informazione riguardo all'eventuale valore di $f(x_0)$, ammesso che esista.
Qualsiasi testo che ho letto utilizza questo comodo teorema ponte (che appunto, crea un ponte tra limiti di funzioni e limiti di successioni) per dimostrare l'eventuale non esistenza di un limite. Difatti, se prendiamo una funzione trigonometrica come il seno, che oscilla indefinitivamente per $x->+oo$, possiamo dimostrare che $lim_{x->+oo} sen(x)$ non esiste, utilizzando questo valida conseguenza del teorema ponte:
Se esistono due successioni $a_n->x_0$ e $b_n->x_0$ per $n->+oo$ con $a_n , b_n in X-{x_0}$.
tali che
$lim_{n->+oo} f(a_n) != lim_{n->+oo} f(b_n)$
Allora
$lim_{x->x_0} f(x)$ non esiste.
Basti scegliere, nel caso $f(x)=sinx$ le due sottosuccessioni $a_n = frac{pi}{2} + 2npi$ e $b_n = frac{3pi}{2} + 2npi$ e notare che
$lim_{n->+oo} f(a_n) = lim_{n->+oo} sen(a_n) = 1 != -1 = lim_{n->+oo} sen(b_n) = lim_{n->+oo} f(b_n)$
Eh bé, però se ti poni così:
Sul teorema ponte, ne abbiamo parlato varie volte qui sul forum. Pare sia una notazione in uso a Napoli e a Roma ma non so se anche in altre università; di sicuro non è una notazione universale. L'enunciato è quello che dice ObServer, una dimostrazione/spiegazione molto ben fatta è quella di Gugo e si trova qui; per la "storia" di questo nome si può vedere qui (un topic risalente al 2006 dal sapore mitologico!).
"ObServer":poi non puoi uscirtene con un enunciato come
La matematica è un linguaggio preciso, è stato creato anche per quelle persone che non sopportano l'ambiguità di molti concetti espressi solo a parole. Perchè non approfittare di questa proprietà degli enunciati per essere chiari una buona volta?
"ObServer":che non è proprio chiaro. Consiglio di usare la funzione "MODIFICA" per aggiustare quanto scritto, nell'interesse di clever e di tutti gli altri eventuali lettori.
se prendiamo una funzione trigonometrica come il seno, che oscilla indefinitivamente per $x->+oo$, possiamo considerarla come limite di successioni e dimostrare che esistono due sottosuccessioni tendenti a due limiti differenti; è sufficiente per richiamare il teorema ponte e dimostrare che $lim_{x->+oo} sin(x)$ non esiste.
Sul teorema ponte, ne abbiamo parlato varie volte qui sul forum. Pare sia una notazione in uso a Napoli e a Roma ma non so se anche in altre università; di sicuro non è una notazione universale. L'enunciato è quello che dice ObServer, una dimostrazione/spiegazione molto ben fatta è quella di Gugo e si trova qui; per la "storia" di questo nome si può vedere qui (un topic risalente al 2006 dal sapore mitologico!).
"dissonance":
Eh bé, però se ti poni così: [...]
Sul teorema ponte, ne abbiamo parlato varie volte qui sul forum. Pare sia una notazione in uso a Napoli e a Roma ma non so se anche in altre università; di sicuro non è una notazione universale. L'enunciato è quello che dice ObServer, una dimostrazione/spiegazione molto ben fatta è quella di Gugo e si trova qui; per la "storia" di questo nome si può vedere qui (un topic risalente al 2006 dal sapore mitologico!).
Hai ragione, e ti ringrazio per la segnalazione. Provvedo subito, poi con calma darò una letta al materiale che mi proponi.
Premetto oggi la mia tastiera va in tilt, non riesco a mettere bene il linguaggio di math, me ne scuso a priori
Sul libro non si parla di nessun teorema ponte, è una terminologia usata dal professore proprio.
Io credevo intuitivamente dal termine che facesse una linea di argomento tra limiti di successioni e limiti di funzioni, in quanto poi
le successioni sono particolari funzioni definite solo per n->+oo.
Per quel che diceva Observer poi, capisco a quali esempi si riferisca.
l'esempio che il lim di sinx per x->+oo non esiste
Prendo due successioni, chiamate x~n e y~n divergenti a +o
il primo x~npi l'altro y~pi/2
quindi il sinx~n del primo va a 0, mentre il sinx del secondo va a 1
quindi dato che il limite di una successione, se esiste, e' unico, la funzione sinx non esiste.
Stesso ragionamento anche per sin1/x
La dimostrazione di gugo la trovo troppo lunga, preferisco tenermi solo l'enunciato di observer....preferirei una dimostrazione
più veloce xD
Come posso definire il "punto di accumulazione"?
Sul libro non si parla di nessun teorema ponte, è una terminologia usata dal professore proprio.
Io credevo intuitivamente dal termine che facesse una linea di argomento tra limiti di successioni e limiti di funzioni, in quanto poi
le successioni sono particolari funzioni definite solo per n->+oo.
Per quel che diceva Observer poi, capisco a quali esempi si riferisca.
l'esempio che il lim di sinx per x->+oo non esiste
Prendo due successioni, chiamate x~n e y~n divergenti a +o
il primo x~npi l'altro y~pi/2
quindi il sinx~n del primo va a 0, mentre il sinx del secondo va a 1
quindi dato che il limite di una successione, se esiste, e' unico, la funzione sinx non esiste.
Stesso ragionamento anche per sin1/x
La dimostrazione di gugo la trovo troppo lunga, preferisco tenermi solo l'enunciato di observer....preferirei una dimostrazione
più veloce xD
Come posso definire il "punto di accumulazione"?
Ho aggiustato l'ultimo messaggio. Clever, stai attento quando inserisci gli apostrofi. L'apostrofo ' , che sulla tastiera italiana è compagno del punto interrogativo, non crea problemi; tu invece hai inserito un altro apostrofo che il parser interpreta come il simbolo del dollaro.
Allora, ho corretto il mio post. Unica cosa, come faccio a migliorare le spaziature che mi viene tutto accozzato assieme?
Modifica: nel Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, si riporta proprio con la dicitura di teorema ponte.
Modifica: nel Bertsch, Dal Passo, Giacomelli, si riporta proprio con la dicitura di teorema ponte.
Naturalmente gli aggiustamenti precedenti sono relativi solo all'aspetto strettamente tecnico. Purtroppo anche la matematica avrebbe bisogno di pesanti aggiustamenti...
Bella cavolata. Cancella, per favore, non mi fare arrabbiare.
](/datas/uploads/forum/emoji/eusa_wall.gif "Brick wall")
Guardando sul libro alla voce: "definizione di punto di accumulazione"...?
Non posso darti torto. Ma la sostanza è semplice. Certo, se non sai cos'è un punto di accumulazione, come pensi di poter capire uno scritto in cui si usa questo concetto?
"clever":
le successioni sono particolari funzioni definite solo per n->+oo.
Bella cavolata. Cancella, per favore, non mi fare arrabbiare.
"clever":Ah, la funzione $sin$ non esiste. E allora fino adesso di cosa abbiamo parlato, del nulla? E' il limite per $x \to +\infty$ che non esiste, non la funzione.
quindi dato che il limite di una successione, se esiste, e' unico, la funzione sinx non esiste.
Come posso definire il "punto di accumulazione"?
Guardando sul libro alla voce: "definizione di punto di accumulazione"...?
"clever":
La dimostrazione di gugo la trovo troppo lunga
Non posso darti torto. Ma la sostanza è semplice. Certo, se non sai cos'è un punto di accumulazione, come pensi di poter capire uno scritto in cui si usa questo concetto?
dissonance, oggi la tastiera purtroppo non so come, ma ha invertito tutti i pulsanti, dove dovrei mettere gli asterischi mi escono le parantesi...spero che domani si risolva il problema...
Si vede che hai impostato un layout di tastiera diverso. In pratica il sistema pensa che tu abbia una tastiera (probabilmente) americana mentre in realtà hai una tastiera italiana. Vedi qui, stan aveva parlato di un problema simile.
Sì, verissimo, avevo messo tastiera inglese.
Grazie per l'appunto.
Grazie per l'appunto.
[OT]
Uà, dissonance, che sei andato a ripescare!
Tra parentesi, c'erano un paio di errori in quel mio vecchio post che ho prontamente corretto... Dopo due anni e mezzo!
[/OT]
Uà, dissonance, che sei andato a ripescare!
Tra parentesi, c'erano un paio di errori in quel mio vecchio post che ho prontamente corretto... Dopo due anni e mezzo!
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Ho visto l'indice analitico, riporta tutti i punti, tranne quelli di accumulazione.
Non ci sto capendo più niente, davvero, non c'è questo teorema ponte e quindi sto prendendo appunti dai vostri post.
inoltre, mi sono espresso malissimo sulla questione del $sin(x)$.
che orride cose sto scrivendo..
Non ci sto capendo più niente, davvero, non c'è questo teorema ponte e quindi sto prendendo appunti dai vostri post.
inoltre, mi sono espresso malissimo sulla questione del $sin(x)$.
che orride cose sto scrivendo..
Vabbé, ti dico io la definizione di punto di accumulazione (per sottoinsiemi di $RR$) e poi me ne vado a dormire che è molto tardi.
Sia $X \subset RR$. Diremo che $x_0\inRR$ è un punto di accumulazione per $X$ se e solo se $\forall epsilon>0$ esiste un punto $x\inX,\ x!=x_0$ tale che $|x-x_0|
Questa definizione si può riformulare in termini di intorni, termine che dovresti conoscere, così:
Sia $X \subset RR$. Diremo che $x_0\inRR$ è un punto di accumulazione per $X$ se e solo se $\forall I$ intorno di $x_0$ esiste $x\inX,\ x!=x_0$ tale che $x\inI$ (comunque prendi un intorno di $x_0$, esso contiene almeno un punto di $X$ diverso da $x_0$).
Così facendo si può lasciare cadere la limitazione $x_0 \in RR$. Se $x_0=+\infty$ oppure $x_0=-\infty$, si può ancora dire che $x_0$ è punto di accumulazione di $X$ nel senso della seconda definizione: infatti mentre non ha senso una scrittura come
$|x - \infty|
ha perfettamente senso parlare di intorno di $+\infty$, o di $-\infty$.
Sia $X \subset RR$. Diremo che $x_0\inRR$ è un punto di accumulazione per $X$ se e solo se $\forall epsilon>0$ esiste un punto $x\inX,\ x!=x_0$ tale che $|x-x_0|
Questa definizione si può riformulare in termini di intorni, termine che dovresti conoscere, così:
Sia $X \subset RR$. Diremo che $x_0\inRR$ è un punto di accumulazione per $X$ se e solo se $\forall I$ intorno di $x_0$ esiste $x\inX,\ x!=x_0$ tale che $x\inI$ (comunque prendi un intorno di $x_0$, esso contiene almeno un punto di $X$ diverso da $x_0$).
Così facendo si può lasciare cadere la limitazione $x_0 \in RR$. Se $x_0=+\infty$ oppure $x_0=-\infty$, si può ancora dire che $x_0$ è punto di accumulazione di $X$ nel senso della seconda definizione: infatti mentre non ha senso una scrittura come
$|x - \infty|
ha perfettamente senso parlare di intorno di $+\infty$, o di $-\infty$.
"clever":
La dimostrazione di gugo la trovo troppo lunga, preferisco tenermi solo l'enunciato di observer... preferirei una dimostrazione
più veloce XD
Chi era quel tale che disse "Sire, in matematica non esistono vie regie"?
Ad ogni modo, quella dimostrazione è lunga perchè è stata scritta proprio per gli studenti (come te) che non hanno dimestichezza con la materia; vi ho specificato "percome e perchè" di ogni passaggio, fino alle cose banalissime, per spiegare il ragionamento sottostante e renderlo comprensibile ai più.
Tu la vuoi "più veloce"... Ti accontento subito:
Dim.: È lasciata allo studioso lettore come utile esercizio. Q. E. D.
"Gugo82":
Chi era quel tale che disse "Sire, in matematica non esistono vie regie"?
Ad ogni modo, quella dimostrazione è lunga perchè è stata scritta proprio per gli studenti (come te) che non hanno dimestichezza con la materia; vi ho specificato "percome e perchè" di ogni passaggio, fino alle cose banalissime, per spiegare il ragionamento sottostante e renderlo comprensibile ai più.
Tu la vuoi "più veloce"... Ti accontento subito:
Dim.: È lasciata allo studioso lettore come utile esercizio. Q. E. D.
Questa me la appunto. Fantastica.
Tra l'altro, senza offesa per clever, questa mania di cercare scorciatoie per ottenere qualcosa che invece richiede una certa applicazione, è tipica e tutta italiana. Fortuna che in matematica non è consentito a nessuno, ma proprio a nessuno, anche con amicizie in alto... Quod erat demonstrandum.
P.S.: Ovviamente la domanda era retorica...
Ogni buono studente di Matematica dovrebbe sapere che quella frase l'ha detta Euclide (o almeno così tramanda Proclo) al re Tolomeo, giacché egli voleva imparare la Geometria velocemente, saltando i ragionamenti degli Elementi ed andando direttamente alle conclusioni.
Altra perla euclidea è la risposta ad un allievo che gli chiese che utilità avesse la Geometria: "Servo, dai a costui una moneta, perchè ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara".
Ogni buono studente di Matematica dovrebbe sapere che quella frase l'ha detta Euclide (o almeno così tramanda Proclo) al re Tolomeo, giacché egli voleva imparare la Geometria velocemente, saltando i ragionamenti degli Elementi ed andando direttamente alle conclusioni.
Altra perla euclidea è la risposta ad un allievo che gli chiese che utilità avesse la Geometria: "Servo, dai a costui una moneta, perchè ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara".
"gugo82":
P.S.: Ovviamente la domanda era retorica...
Ogni buono studente di Matematica dovrebbe sapere che quella frase l'ha detta Euclide (o almeno così tramanda Proclo) al re Tolomeo, giacché egli voleva imparare la Geometria velocemente, saltando i ragionamenti degli Elementi ed andando direttamente alle conclusioni.
Altra perla euclidea è la risposta ad un allievo che gli chiese che utilità avesse la Geometria: "Servo, dai a costui una moneta, perchè ha bisogno di trarre guadagno da ciò che impara".
[OT]Se questo è un modo velato di darmi dell'ignorante, lo trovo molto maleducato da parte tua. Faccio tesoro delle cose che dici e che io potrei non sapere, ma non sono qui a farmi giudicare, nemmeno in maniera sottintesa.[/OT]
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