Domande di teoria sugli integrali
Un esercizio mi chiede quale delle seguenti sia vera:
a) $ int_(a)^(b) f(x)dx $ rappresenta geometricamente l'area della figura compresa tra il grafico di f e l'asse delle ascisse e le rette x=a e x=b
Se non sbaglio questa è falsa, perchè l'integrale rappresenta l'area ma in senso algebrico, non geometrico
b) se a>b allora $ int_(a)^(b) f(x)dx$ è negativo
Falsa anche questa, il segno dell'integrale non dipende solo dagli intervalli ma anche dalla f(x)
c) se f è discontinua allora $ int_(a)^(b) f(x)dx$ non esiste
Falsa, dipende dalla discontinuità, se per es. c'è un numero finito di punti di discontinuità è possibile integrare
d)Se f è pari allora $ int_(-a)^(a) f(x)dx$=$ int_(0)^(a) f(x)dx$
Qui ragiono così: se f è pari allora una sua primitiva F è dispari, e questo implica che $-F(x)=F(-x)$ e allora per il teorema fondamentale$ F(a)-F(-a)=2F(a)$ che vorrebbe dire che $ int_(-a)^(a) f(x)dx= 2int_(0)^(a) f(x)dx=2[F(a) - F(0)]$ e quindi...falsa. Su questo sono un po' dubbioso.
e) Nessuna delle precedenti, che è quella che sceglierei.
Cosa ne pensate? Secondo voi hanno senso la d e la a?
a) $ int_(a)^(b) f(x)dx $ rappresenta geometricamente l'area della figura compresa tra il grafico di f e l'asse delle ascisse e le rette x=a e x=b
Se non sbaglio questa è falsa, perchè l'integrale rappresenta l'area ma in senso algebrico, non geometrico
b) se a>b allora $ int_(a)^(b) f(x)dx$ è negativo
Falsa anche questa, il segno dell'integrale non dipende solo dagli intervalli ma anche dalla f(x)
c) se f è discontinua allora $ int_(a)^(b) f(x)dx$ non esiste
Falsa, dipende dalla discontinuità, se per es. c'è un numero finito di punti di discontinuità è possibile integrare
d)Se f è pari allora $ int_(-a)^(a) f(x)dx$=$ int_(0)^(a) f(x)dx$
Qui ragiono così: se f è pari allora una sua primitiva F è dispari, e questo implica che $-F(x)=F(-x)$ e allora per il teorema fondamentale$ F(a)-F(-a)=2F(a)$ che vorrebbe dire che $ int_(-a)^(a) f(x)dx= 2int_(0)^(a) f(x)dx=2[F(a) - F(0)]$ e quindi...falsa. Su questo sono un po' dubbioso.
e) Nessuna delle precedenti, che è quella che sceglierei.
Cosa ne pensate? Secondo voi hanno senso la d e la a?
Risposte
Concordo con te.
Paola
Paola
Anche io concordo,
sopratutto se sul segno della tua f non son state fatte ipotesi che non hai riportato
(che se fossero presenti mi farebbero venire un piccolo dubbio sul significato dato,dall'autore del test,
all'avverbio geometricamente):
se poi ti persistono dubbi sulla (d),ti basta pensare al controesempio fornito dalla $f(x)=x^2:[-a,a]toRR$.
Saluti dal web.
sopratutto se sul segno della tua f non son state fatte ipotesi che non hai riportato
(che se fossero presenti mi farebbero venire un piccolo dubbio sul significato dato,dall'autore del test,
all'avverbio geometricamente):
se poi ti persistono dubbi sulla (d),ti basta pensare al controesempio fornito dalla $f(x)=x^2:[-a,a]toRR$.
Saluti dal web.
Il testo dell'esercizio è completo, e non ci sono ipotesi sul segno. Il controesempio della parabola era esattamente quello che avevo immaginato per avere una raffigurazione intuitiva.
Grazie delle risposte, bello vedere che qualcosina l'ho imparato^^
Grazie delle risposte, bello vedere che qualcosina l'ho imparato^^
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