Domande di algebra lineare e geometria
Ciao a tutti avrei bisogno d’aiuto con questi esercizi: si tratta di rispondere vero o falso, alcuni li ho fatti ma altri non so la risposta. Vi chiedo di aiutarmi con quelli a cui non ho risposto e di correggermi quelle a cui ho risposto ma che sono sbagliate. Grazie mille in anticipo.
1) Consideriamo N con le operazioni di somma e prodotto:
a)N(+) è un gruppo abeliano FALSO
b)N(+) è un gruppo non abeliano FALSO
c)N(+) non è un gruppo abeliano VERO
d)N(+,x) è un anello FALSO
2) Se K(+,x) è un campo, allora K(+,x) è anche un anello VERO
3)Se K(+,x) è un anello, allora K(+,x) è anche un campo VERO
4)Se K(+,x) è un campo, allora K(+)è anche un gruppo FALSO
5)Se K(+,x) è un campo, allora K(x) è anche un gruppo VERO
6) Ogni matrice reale simmetrica è anche antisimmetrica FALSO
7)Ogni matrice reale simmetrica è hermitiana VERO
8) esiste qualche matrice reale sia simmetrica che antisimmetrica FALSO
9)Nessuna matrice reale non nulla è antihermitiana FALSO
10)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio affine
11)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio vettoriale
12)Ogni famiglia di sottospazi affini ha intersezione vuota
13)L’unione di una famiglia di sottospazi affini è un sottospazio affine
14)Ogni vettore che dipende da un sistema di vettori, appartiene al sistema FALSO
15)Ogni vettore che appartiene a un sistema di vettori, dipende dal sistema VERO
16)Il vettore nullo dipende da ogni sistema di vettori VERO
17)un sistema dipendente contiene il vettore nullo
18)Un sistema indipendente non contiene il vettore nullo
19)Un sistema indipendente non contiene vettori proporzionali VERO
20)Ogni sistema contenuto in un sistema indipendente è indipendente VERO
21)Ogni sistema di ordine uno è indipendente
22)Un sistema è indipendente se e solo se ogni suo sottosistema è indipendente VERO
23)Un sistema è indipendente se e solo se qualche suo sottosistema è indipendente FALSO
24)Un sistema è dipendente se e solo se ogni suo sottosistema è dipendente VERO
25)Un sistema è dipendente se e solo se qualche suo sottosistema è dipendente FALSO
26)Consideriamo lo spazio vettoriale V dei vettori liberi di una retta r:
a)un sistema indipendente di V contiene al più un solo elemento
b)unsistema indipendente di V contiene esattamente un solo elemento
c)ci sono sistemi indipendenti di V di ordine 3
d)ci sono sistemi dipendenti di V di qualunque ordine
27) Un sistema è dipendente se esiste un vettore che dipende in modo non unico dal sistema
28)Un sistema è dipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo non unico dal sistema
29)Un sistema è indipendente se esiste un vettore che dipende in modo unico dal sistema VERO
30)Un sistema è indipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo unico dal sistema
31)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è indipendente
32)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è dipendente
33)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi dipendenti
34)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti
35)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti di ordine almeno 2
36)Consideriamo il sottoinsieme H di K[x] costituito da tutti i polinomi di grado pari:
a)H è dipendente
b)H è indipendente
c)Ogni polinomio in K[x] dipende linearmente da H
d)solo i polinomi di grado pari dipendono linearmente da H
37)Sia S un sistema di vettori dello spazio vettoriale V sul campo K:
a)il sottospazio ˂s˃ è costituito dai vettori che appartengono a S
b) il sottospazio ˂s˃ contiene sempre propriamente i vettori di S
c) il sottospazio ˂s˃ non contiene alcun vettore di S
d) il sottospazio ˂s˃ contiene tutti i vettori di S
38) Un sistema è compatibile se e solo se ha qualche soluzione
39)Un sistema è compatibile se e solo se RIG(A)=RIG(B) FALSO
40)Un sistema è compatibile se e solo se COL(A)=COL(B) VERO
41)Sia A uno spazio affine di dimensione n:
a)esiste un solo punto di A che è l’origine di un qualunque sistema di coordinate cartesiane in A, ed è il punto di coordinate tutte nulle VERO
b)ogni punto di A può essere assunto come l’origine di un qualche sistema di coordinate cartesiane in A, e in quel sistema ha coordinate tutte nulle
c)se R e R ¹ sono due riferimenti cartesiani in A, si ha R=R ¹ se e solo se ogni punto di A ha le stesse coordinate in R e R ¹
d) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n rette per l’origine
e)per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e una n-pla ordinata di vettori liberi linearmente indipendenti
f) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n vettori liberi linearmente indipendenti
42) due spazi vettoriali di dimensione finita isomorfi hanno la stessa dimensione
43)Lo spazio generato dalle righe di una matrice A è uguale allo spazio generato dalle colonne di A
44)un sistema massimo di righe linearmente indipendenti di A ha lo stesso ordine di un sistema massimo di colonne linearmente indipendenti di A FALSO
45) Una matrice è nulla se e solo se ha rango 0 VERO
46)una matrice è nulla se e solo se ha rango 1 FALSO
47)Una matrice ha rango 1 se e solo se ha tutti gli elementi uguali FALSo
48)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 1 FALSO
49)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 0 o 1 VERO
50)Una matrice ha rango massimo se e solo se o le sue righe o le sue colonne sono linearmente indipendenti VERO
51)Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue righe sono linearmente indipendenti
52) Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue colonne sono linearmente indipendenti
53)ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango minore di quello di A FALSO
54) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango uguale di quello di A FALSO
55) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango non maggiore di quello di A VERO
56)un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile VERO
57) un sistema lineare omogeneo è compatibile se e solo se le sue equazioni sono linearmente indipendenti
58)le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vttoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero delle equazioni
59) le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vttoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero massimo di equazioni linearmente indipendenti dal sistema
60)Un sistema compatibile in n incognite è sempre equivalente ad uno compatibile FALSO
61) Un sistema lineare in n incognite è sempre equivalente ad uno con al più n+1 equazioni
1) Consideriamo N con le operazioni di somma e prodotto:
a)N(+) è un gruppo abeliano FALSO
b)N(+) è un gruppo non abeliano FALSO
c)N(+) non è un gruppo abeliano VERO
d)N(+,x) è un anello FALSO
2) Se K(+,x) è un campo, allora K(+,x) è anche un anello VERO
3)Se K(+,x) è un anello, allora K(+,x) è anche un campo VERO
4)Se K(+,x) è un campo, allora K(+)è anche un gruppo FALSO
5)Se K(+,x) è un campo, allora K(x) è anche un gruppo VERO
6) Ogni matrice reale simmetrica è anche antisimmetrica FALSO
7)Ogni matrice reale simmetrica è hermitiana VERO
8) esiste qualche matrice reale sia simmetrica che antisimmetrica FALSO
9)Nessuna matrice reale non nulla è antihermitiana FALSO
10)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio affine
11)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio vettoriale
12)Ogni famiglia di sottospazi affini ha intersezione vuota
13)L’unione di una famiglia di sottospazi affini è un sottospazio affine
14)Ogni vettore che dipende da un sistema di vettori, appartiene al sistema FALSO
15)Ogni vettore che appartiene a un sistema di vettori, dipende dal sistema VERO
16)Il vettore nullo dipende da ogni sistema di vettori VERO
17)un sistema dipendente contiene il vettore nullo
18)Un sistema indipendente non contiene il vettore nullo
19)Un sistema indipendente non contiene vettori proporzionali VERO
20)Ogni sistema contenuto in un sistema indipendente è indipendente VERO
21)Ogni sistema di ordine uno è indipendente
22)Un sistema è indipendente se e solo se ogni suo sottosistema è indipendente VERO
23)Un sistema è indipendente se e solo se qualche suo sottosistema è indipendente FALSO
24)Un sistema è dipendente se e solo se ogni suo sottosistema è dipendente VERO
25)Un sistema è dipendente se e solo se qualche suo sottosistema è dipendente FALSO
26)Consideriamo lo spazio vettoriale V dei vettori liberi di una retta r:
a)un sistema indipendente di V contiene al più un solo elemento
b)unsistema indipendente di V contiene esattamente un solo elemento
c)ci sono sistemi indipendenti di V di ordine 3
d)ci sono sistemi dipendenti di V di qualunque ordine
27) Un sistema è dipendente se esiste un vettore che dipende in modo non unico dal sistema
28)Un sistema è dipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo non unico dal sistema
29)Un sistema è indipendente se esiste un vettore che dipende in modo unico dal sistema VERO
30)Un sistema è indipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo unico dal sistema
31)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è indipendente
32)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è dipendente
33)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi dipendenti
34)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti
35)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti di ordine almeno 2
36)Consideriamo il sottoinsieme H di K[x] costituito da tutti i polinomi di grado pari:
a)H è dipendente
b)H è indipendente
c)Ogni polinomio in K[x] dipende linearmente da H
d)solo i polinomi di grado pari dipendono linearmente da H
37)Sia S un sistema di vettori dello spazio vettoriale V sul campo K:
a)il sottospazio ˂s˃ è costituito dai vettori che appartengono a S
b) il sottospazio ˂s˃ contiene sempre propriamente i vettori di S
c) il sottospazio ˂s˃ non contiene alcun vettore di S
d) il sottospazio ˂s˃ contiene tutti i vettori di S
38) Un sistema è compatibile se e solo se ha qualche soluzione
39)Un sistema è compatibile se e solo se RIG(A)=RIG(B) FALSO
40)Un sistema è compatibile se e solo se COL(A)=COL(B) VERO
41)Sia A uno spazio affine di dimensione n:
a)esiste un solo punto di A che è l’origine di un qualunque sistema di coordinate cartesiane in A, ed è il punto di coordinate tutte nulle VERO
b)ogni punto di A può essere assunto come l’origine di un qualche sistema di coordinate cartesiane in A, e in quel sistema ha coordinate tutte nulle
c)se R e R ¹ sono due riferimenti cartesiani in A, si ha R=R ¹ se e solo se ogni punto di A ha le stesse coordinate in R e R ¹
d) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n rette per l’origine
e)per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e una n-pla ordinata di vettori liberi linearmente indipendenti
f) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n vettori liberi linearmente indipendenti
42) due spazi vettoriali di dimensione finita isomorfi hanno la stessa dimensione
43)Lo spazio generato dalle righe di una matrice A è uguale allo spazio generato dalle colonne di A
44)un sistema massimo di righe linearmente indipendenti di A ha lo stesso ordine di un sistema massimo di colonne linearmente indipendenti di A FALSO
45) Una matrice è nulla se e solo se ha rango 0 VERO
46)una matrice è nulla se e solo se ha rango 1 FALSO
47)Una matrice ha rango 1 se e solo se ha tutti gli elementi uguali FALSo
48)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 1 FALSO
49)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 0 o 1 VERO
50)Una matrice ha rango massimo se e solo se o le sue righe o le sue colonne sono linearmente indipendenti VERO
51)Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue righe sono linearmente indipendenti
52) Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue colonne sono linearmente indipendenti
53)ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango minore di quello di A FALSO
54) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango uguale di quello di A FALSO
55) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango non maggiore di quello di A VERO
56)un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile VERO
57) un sistema lineare omogeneo è compatibile se e solo se le sue equazioni sono linearmente indipendenti
58)le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vttoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero delle equazioni
59) le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vttoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero massimo di equazioni linearmente indipendenti dal sistema
60)Un sistema compatibile in n incognite è sempre equivalente ad uno compatibile FALSO
61) Un sistema lineare in n incognite è sempre equivalente ad uno con al più n+1 equazioni
Risposte
Vediamo un po': è un sacco di roba, per cui rispondo direttamente di fianco alle tue risposte.
1) Consideriamo N con le operazioni di somma e prodotto:
a)N(+) è un gruppo abeliano FALSO (VERO: la somma è commutativa)
b)N(+) è un gruppo non abeliano FALSO (Che poi spiegami: se questa è falsa, quella prima come fa ad essere pure falsa?)
c)N(+) non è un gruppo abeliano VERO (FALSO: ma la domanda l'hai letta?)
d)N(+,x) è un anello FALSO (Esatto: manca la proprietà dei reciproci)
2) Se K(+,x) è un campo, allora K(+,x) è anche un anello VERO (Esatto: un anello ha meno proprietà di un campo)
3)Se K(+,x) è un anello, allora K(+,x) è anche un campo VERO (FALSO: ma se quella di prima è vera, come fa ad essere vera pure questa? Hai notato che sono l'una la contraria dell'altra?)
4)Se K(+,x) è un campo, allora K(+)è anche un gruppo FALSO (VERO: se hai un campo, sia (K,+) che (K,x) sono gruppi (abeliani, per giunta!))
5)Se K(+,x) è un campo, allora K(x) è anche un gruppo VERO (Qui hai risposto giusto e prima no: ma le leggi le domande?)
6) Ogni matrice reale simmetrica è anche antisimmetrica FALSO (Corretto: le due definizioni determinano due classi diverse di matrici)
7)Ogni matrice reale simmetrica è hermitiana VERO (Corretto: l'hermitianità è l'estensione della simmetria per matrici a coefficienti complessi)
8) esiste qualche matrice reale sia simmetrica che antisimmetrica FALSO Corretto per quello che dicevamo alla 6)
9)Nessuna matrice reale non nulla è antihermitiana FALSO (Corretto: basta prendere le antisimmetriche)
10)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio affine (VERO: per definizione)
11)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio vettoriale (FALSO: uno spazio affine non è uno spazio vettoriale, ma vi è associato)
12)Ogni famiglia di sottospazi affini ha intersezione vuota (FALSO: l'intersezione dipende da come sono fatti gli spazi vettoriali soggiacenti)
13)L’unione di una famiglia di sottospazi affini è un sottospazio affine (FALSO: il concetto di unione non è neanche ben definito)
14)Ogni vettore che dipende da un sistema di vettori, appartiene al sistema FALSO (Corretto: in realtà è una combinazione lineare dei vettori del sistema, non è detto che sia proprio uno dei vettori del sistema)
15)Ogni vettore che appartiene a un sistema di vettori, dipende dal sistema VERO (Corretto per quanto detto prima)
16)Il vettore nullo dipende da ogni sistema di vettori VERO (Corretto: è la combinazione con coefficienti tutti nulli)
17)un sistema dipendente contiene il vettore nullo (FALSO: il sistema
18)Un sistema indipendente non contiene il vettore nullo (VERO: se ci fosse il vettore nullo nel sistema
19)Un sistema indipendente non contiene vettori proporzionali VERO (Esatto: vettori proporzionali sono dipendenti)
20)Ogni sistema contenuto in un sistema indipendente è indipendente VERO (Esatto: in questi casi vale una regola logica per cui, se l'insieme più grande ha certe proprietà, anche quelli più piccoli in esso contenuti mantengono tali proprietà)
21)Ogni sistema di ordine uno è indipendente (FALSO: se
22)Un sistema è indipendente se e solo se ogni suo sottosistema è indipendente VERO (Esatto: il se è banale, il sole se segue dal fatto che se a gruppi i vettori sono indipendenti, allora lo sono presi tutti insieme)
23)Un sistema è indipendente se e solo se qualche suo sottosistema è indipendente FALSO (Esatto: questa è la frase contraria alla precedente)
24)Un sistema è dipendente se e solo se ogni suo sottosistema è dipendente VERO (FALSO: basta che un solo sottosistema sia dipendente per far crollare tutto)
25)Un sistema è dipendente se e solo se qualche suo sottosistema è dipendente FALSO (VERO: questa è la contraria della precedente)
26)Consideriamo lo spazio vettoriale V dei vettori liberi di una retta r:
a)un sistema indipendente di V contiene al più un solo elemento
b)un sistema indipendente di V contiene esattamente un solo elemento
c)ci sono sistemi indipendenti di V di ordine 3
d)ci sono sistemi dipendenti di V di qualunque ordine
(a), c), d) sono FALSE. L'unica vera è la b): infatti una retta (in qualsiasi spazio ti trovi) è uno spazio vettoriale di dimensione 1, pertanto è generata da un unico vettore, che ne rappresenta la direzione nello spazio vettoriale ambiente)
27) Un sistema è dipendente se esiste un vettore che dipende in modo non unico dal sistema (FALSO: se un sistema è dipendente, non è detto che generi lo spazio e quindi potrebbero esserci vettori che non si ottengono in nessun modo dal sistema)
28)Un sistema è dipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo non unico dal sistema (FALSO: come sopra)
29)Un sistema è indipendente se esiste un vettore che dipende in modo unico dal sistema VERO (FALSO: tutti i vettori devono soddisfare questa proprietà)
30)Un sistema è indipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo unico dal sistema (FALSO: come sopra)
31)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è indipendente (FALSO: se lo sazio vettoriale ha dimensione finita, un sistema può avere al più un numero di elementi indipendenti pari alla dimensione dello spazio stesso)
32)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è dipendente (VERO: è la contraria della precedente)
33)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi dipendenti (VERO: qualsiasi insieme di vettori il cui numero sia superiore alla dimensione dello spazio)
34)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti (VERO: qualsiasi sottoinsieme di una base dello spazio)
35)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti di ordine almeno 2 (FALSO: se lo spazio ha dimensione 1 ciò non è vero)
36)Consideriamo il sottoinsieme H di K[x] costituito da tutti i polinomi di grado pari:
a)H è dipendente
b)H è indipendente
c)Ogni polinomio in K[x] dipende linearmente da H
d)solo i polinomi di grado pari dipendono linearmente da H
(La b) e la c) sono false: infatti i polinomi
37)Sia S un sistema di vettori dello spazio vettoriale V sul campo K:
a)il sottospazio ˂s˃ è costituito dai vettori che appartengono a S
b) il sottospazio ˂s˃ contiene sempre propriamente i vettori di S
c) il sottospazio ˂s˃ non contiene alcun vettore di S
d) il sottospazio ˂s˃ contiene tutti i vettori di S
(Spero che tu intenda
lo spazio delle combinazioni lineari di vettori su
38) Un sistema è compatibile se e solo se ha qualche soluzione (VERO: è la definizione)
39)Un sistema è compatibile se e solo se RIG(A)=RIG(B) FALSO
40)Un sistema è compatibile se e solo se COL(A)=COL(B) VERO
(Non ho capito le notazioni in queste due richieste )
41)Sia A uno spazio affine di dimensione n:
a)esiste un solo punto di A che è l’origine di un qualunque sistema di coordinate cartesiane in A, ed è il punto di coordinate tutte nulle VERO (FALSO: una volta fissato uno, ogni traslazione manda l'origine di un sistema in una nuova origine)
b)ogni punto di A può essere assunto come l’origine di un qualche sistema di coordinate cartesiane in A, e in quel sistema ha coordinate tutte nulle (VERO: per quanto detto prima)
c)se R e R ¹ sono due riferimenti cartesiani in A, si ha R=R ¹ se e solo se ogni punto di A ha le stesse coordinate in R e R ¹ (VERO: per definizione)
d) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n rette per l’origine (FALSO: bisogna assegnare delle direzioni in modo ordinato che corrispondano alla base dello spazio vettoriale soggiacente)
e)per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e una n-pla ordinata di vettori liberi linearmente indipendenti (FALSO: i vettori vanno presi in un ordine preciso)
f) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n vettori liberi linearmente indipendenti (VERO: per quanto detto prima)
42) due spazi vettoriali di dimensione finita isomorfi hanno la stessa dimensione (VERO: segue dalla definizione di isomorfismo)
43)Lo spazio generato dalle righe di una matrice A è uguale allo spazio generato dalle colonne di A (FALSO: se
44)un sistema massimo di righe linearmente indipendenti di A ha lo stesso ordine di un sistema massimo di colonne linearmente indipendenti di A FALSO (VERO: il rango per righe e colonne con cambia)
45) Una matrice è nulla se e solo se ha rango 0 VERO (CORRETTO)
46)una matrice è nulla se e solo se ha rango 1 FALSO (CORRETTO)
47)Una matrice ha rango 1 se e solo se ha tutti gli elementi uguali FALSO (CORRETTO: se sono tutti uguali a zero, ha rango zero)
48)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 1 FALSO (CORRETTO: di nuovo, potrebbero essere tutti nulli)
49)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 0 o 1 VERO (CORRETTO: per quanto visto prima)
50)Una matrice ha rango massimo se e solo se o le sue righe o le sue colonne sono linearmente indipendenti VERO (CORRETTO: per definizione di rango)
51)Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue righe sono linearmente indipendenti (VERO: come sopra)
52) Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue colonne sono linearmente indipendenti (VERO: come sopra)
53)ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango minore di quello di A FALSO (Corretto: se A non ha rango massimo, possono esserci sottomatrici con lo stesso suo rango)
54) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango uguale di quello di A FALSO (Corretto: in generale è
55) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango non maggiore di quello di A VERO (Corretto)
56)un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile VERO (Corretto: segue da Rouché-Capelli in quanto il rango della matrice dei coefficienti coincide con il rango della matrice completa)
57) un sistema lineare omogeneo è compatibile se e solo se le sue equazioni sono linearmente indipendenti (FALSO: se quella di prima è vera...)
58)le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vettoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero delle equazioni (FALSO: vedi la prossima)
59) le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vttoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero massimo di equazioni linearmente indipendenti dal sistema (VERO: se il sistema è
60)Un sistema compatibile in n incognite è sempre equivalente ad uno compatibile FALSO
61) Un sistema lineare in n incognite è sempre equivalente ad uno con al più n+1 equazioni
(Queste due domande mi sembrano formulate male: sei sicura che siano così?)
1) Consideriamo N con le operazioni di somma e prodotto:
a)N(+) è un gruppo abeliano FALSO (VERO: la somma è commutativa)
b)N(+) è un gruppo non abeliano FALSO (Che poi spiegami: se questa è falsa, quella prima come fa ad essere pure falsa?)
c)N(+) non è un gruppo abeliano VERO (FALSO: ma la domanda l'hai letta?)
d)N(+,x) è un anello FALSO (Esatto: manca la proprietà dei reciproci)
2) Se K(+,x) è un campo, allora K(+,x) è anche un anello VERO (Esatto: un anello ha meno proprietà di un campo)
3)Se K(+,x) è un anello, allora K(+,x) è anche un campo VERO (FALSO: ma se quella di prima è vera, come fa ad essere vera pure questa? Hai notato che sono l'una la contraria dell'altra?)
4)Se K(+,x) è un campo, allora K(+)è anche un gruppo FALSO (VERO: se hai un campo, sia (K,+) che (K,x) sono gruppi (abeliani, per giunta!))
5)Se K(+,x) è un campo, allora K(x) è anche un gruppo VERO (Qui hai risposto giusto e prima no: ma le leggi le domande?)
6) Ogni matrice reale simmetrica è anche antisimmetrica FALSO (Corretto: le due definizioni determinano due classi diverse di matrici)
7)Ogni matrice reale simmetrica è hermitiana VERO (Corretto: l'hermitianità è l'estensione della simmetria per matrici a coefficienti complessi)
8) esiste qualche matrice reale sia simmetrica che antisimmetrica FALSO Corretto per quello che dicevamo alla 6)
9)Nessuna matrice reale non nulla è antihermitiana FALSO (Corretto: basta prendere le antisimmetriche)
10)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio affine (VERO: per definizione)
11)Ogni sottospazio affine di uno spazio affine è uno spazio vettoriale (FALSO: uno spazio affine non è uno spazio vettoriale, ma vi è associato)
12)Ogni famiglia di sottospazi affini ha intersezione vuota (FALSO: l'intersezione dipende da come sono fatti gli spazi vettoriali soggiacenti)
13)L’unione di una famiglia di sottospazi affini è un sottospazio affine (FALSO: il concetto di unione non è neanche ben definito)
14)Ogni vettore che dipende da un sistema di vettori, appartiene al sistema FALSO (Corretto: in realtà è una combinazione lineare dei vettori del sistema, non è detto che sia proprio uno dei vettori del sistema)
15)Ogni vettore che appartiene a un sistema di vettori, dipende dal sistema VERO (Corretto per quanto detto prima)
16)Il vettore nullo dipende da ogni sistema di vettori VERO (Corretto: è la combinazione con coefficienti tutti nulli)
17)un sistema dipendente contiene il vettore nullo (FALSO: il sistema
[math]\{(1,2),\ (-1,-2)\}[/math]
è dipendente in [math]\mathbb{R}^2[/math]
ma non contiene il vettore nullo)18)Un sistema indipendente non contiene il vettore nullo (VERO: se ci fosse il vettore nullo nel sistema
[math]\{v_1,\ldots, v_n, 0\}[/math]
allora si avrebbe [math]0=\sum_{i=1}^n 0\cdot v_i[/math]
e il sistema risulterebbe dipendente)19)Un sistema indipendente non contiene vettori proporzionali VERO (Esatto: vettori proporzionali sono dipendenti)
20)Ogni sistema contenuto in un sistema indipendente è indipendente VERO (Esatto: in questi casi vale una regola logica per cui, se l'insieme più grande ha certe proprietà, anche quelli più piccoli in esso contenuti mantengono tali proprietà)
21)Ogni sistema di ordine uno è indipendente (FALSO: se
[math]v=0[/math]
allora [math]av=0[/math]
per ogni [math]a\in\mathbb{R}[/math]
. Affinché questa frase sia vera, si deve supporre che [math]v\not= 0[/math]
)22)Un sistema è indipendente se e solo se ogni suo sottosistema è indipendente VERO (Esatto: il se è banale, il sole se segue dal fatto che se a gruppi i vettori sono indipendenti, allora lo sono presi tutti insieme)
23)Un sistema è indipendente se e solo se qualche suo sottosistema è indipendente FALSO (Esatto: questa è la frase contraria alla precedente)
24)Un sistema è dipendente se e solo se ogni suo sottosistema è dipendente VERO (FALSO: basta che un solo sottosistema sia dipendente per far crollare tutto)
25)Un sistema è dipendente se e solo se qualche suo sottosistema è dipendente FALSO (VERO: questa è la contraria della precedente)
26)Consideriamo lo spazio vettoriale V dei vettori liberi di una retta r:
a)un sistema indipendente di V contiene al più un solo elemento
b)un sistema indipendente di V contiene esattamente un solo elemento
c)ci sono sistemi indipendenti di V di ordine 3
d)ci sono sistemi dipendenti di V di qualunque ordine
(a), c), d) sono FALSE. L'unica vera è la b): infatti una retta (in qualsiasi spazio ti trovi) è uno spazio vettoriale di dimensione 1, pertanto è generata da un unico vettore, che ne rappresenta la direzione nello spazio vettoriale ambiente)
27) Un sistema è dipendente se esiste un vettore che dipende in modo non unico dal sistema (FALSO: se un sistema è dipendente, non è detto che generi lo spazio e quindi potrebbero esserci vettori che non si ottengono in nessun modo dal sistema)
28)Un sistema è dipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo non unico dal sistema (FALSO: come sopra)
29)Un sistema è indipendente se esiste un vettore che dipende in modo unico dal sistema VERO (FALSO: tutti i vettori devono soddisfare questa proprietà)
30)Un sistema è indipendente se esiste un vettore non nullo che dipende in modo unico dal sistema (FALSO: come sopra)
31)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è indipendente (FALSO: se lo sazio vettoriale ha dimensione finita, un sistema può avere al più un numero di elementi indipendenti pari alla dimensione dello spazio stesso)
32)Ogni sottoinsieme infinito di uno spazio vettoriale è dipendente (VERO: è la contraria della precedente)
33)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi dipendenti (VERO: qualsiasi insieme di vettori il cui numero sia superiore alla dimensione dello spazio)
34)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti (VERO: qualsiasi sottoinsieme di una base dello spazio)
35)In uno spazio vettoriale esistono sempre sottoinsiemi indipendenti di ordine almeno 2 (FALSO: se lo spazio ha dimensione 1 ciò non è vero)
36)Consideriamo il sottoinsieme H di K[x] costituito da tutti i polinomi di grado pari:
a)H è dipendente
b)H è indipendente
c)Ogni polinomio in K[x] dipende linearmente da H
d)solo i polinomi di grado pari dipendono linearmente da H
(La b) e la c) sono false: infatti i polinomi
[math]\{x^2,\ x^4,\ x^2+x^4\}[/math]
sono dipendenti e sono un sottoinsieme di [math]H[/math]
; il polinomio [math]x^3[/math]
di [math]\mathbb{K}[x][/math]
non si può ottenere come combinazione lineare di elementi in [math]H[/math]
. Per gli stessi motivi scritti qui, risulta che a), d) sono vere)37)Sia S un sistema di vettori dello spazio vettoriale V sul campo K:
a)il sottospazio ˂s˃ è costituito dai vettori che appartengono a S
b) il sottospazio ˂s˃ contiene sempre propriamente i vettori di S
c) il sottospazio ˂s˃ non contiene alcun vettore di S
d) il sottospazio ˂s˃ contiene tutti i vettori di S
(Spero che tu intenda
[math]=\{v\in V\ :\ v=\sum_{i=1}^n a_i v_i,\ a_i\in\mathbb{K},\ v_i\in S\}[/math]
lo spazio delle combinazioni lineari di vettori su
[math]S[/math]
. Se è così, ti rendi conto che l'unica affermazione vera è la b), in quanto tale insieme contiene oltre ai vettori di S anche altri vettori)38) Un sistema è compatibile se e solo se ha qualche soluzione (VERO: è la definizione)
39)Un sistema è compatibile se e solo se RIG(A)=RIG(B) FALSO
40)Un sistema è compatibile se e solo se COL(A)=COL(B) VERO
(Non ho capito le notazioni in queste due richieste )
41)Sia A uno spazio affine di dimensione n:
a)esiste un solo punto di A che è l’origine di un qualunque sistema di coordinate cartesiane in A, ed è il punto di coordinate tutte nulle VERO (FALSO: una volta fissato uno, ogni traslazione manda l'origine di un sistema in una nuova origine)
b)ogni punto di A può essere assunto come l’origine di un qualche sistema di coordinate cartesiane in A, e in quel sistema ha coordinate tutte nulle (VERO: per quanto detto prima)
c)se R e R ¹ sono due riferimenti cartesiani in A, si ha R=R ¹ se e solo se ogni punto di A ha le stesse coordinate in R e R ¹ (VERO: per definizione)
d) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n rette per l’origine (FALSO: bisogna assegnare delle direzioni in modo ordinato che corrispondano alla base dello spazio vettoriale soggiacente)
e)per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e una n-pla ordinata di vettori liberi linearmente indipendenti (FALSO: i vettori vanno presi in un ordine preciso)
f) per assegnare un sistema di coordinate cartesiane in A devo assegnarne l’origine e n vettori liberi linearmente indipendenti (VERO: per quanto detto prima)
42) due spazi vettoriali di dimensione finita isomorfi hanno la stessa dimensione (VERO: segue dalla definizione di isomorfismo)
43)Lo spazio generato dalle righe di una matrice A è uguale allo spazio generato dalle colonne di A (FALSO: se
[math]AX=0[/math]
è l'equazione che genera lo spazio, non è vero in generale che l'equazione [math]A^T X=0[/math]
generi lo stesso spazio di soluzioni)44)un sistema massimo di righe linearmente indipendenti di A ha lo stesso ordine di un sistema massimo di colonne linearmente indipendenti di A FALSO (VERO: il rango per righe e colonne con cambia)
45) Una matrice è nulla se e solo se ha rango 0 VERO (CORRETTO)
46)una matrice è nulla se e solo se ha rango 1 FALSO (CORRETTO)
47)Una matrice ha rango 1 se e solo se ha tutti gli elementi uguali FALSO (CORRETTO: se sono tutti uguali a zero, ha rango zero)
48)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 1 FALSO (CORRETTO: di nuovo, potrebbero essere tutti nulli)
49)Se una matrice ha tutti gli elementi uguali ha rango 0 o 1 VERO (CORRETTO: per quanto visto prima)
50)Una matrice ha rango massimo se e solo se o le sue righe o le sue colonne sono linearmente indipendenti VERO (CORRETTO: per definizione di rango)
51)Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue righe sono linearmente indipendenti (VERO: come sopra)
52) Una matrice ha rango massimo se e solo se le sue colonne sono linearmente indipendenti (VERO: come sopra)
53)ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango minore di quello di A FALSO (Corretto: se A non ha rango massimo, possono esserci sottomatrici con lo stesso suo rango)
54) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango uguale di quello di A FALSO (Corretto: in generale è
[math]\le[/math]
)55) ogni matrice subordinata ad una matrice A ha rango non maggiore di quello di A VERO (Corretto)
56)un sistema lineare omogeneo è sempre compatibile VERO (Corretto: segue da Rouché-Capelli in quanto il rango della matrice dei coefficienti coincide con il rango della matrice completa)
57) un sistema lineare omogeneo è compatibile se e solo se le sue equazioni sono linearmente indipendenti (FALSO: se quella di prima è vera...)
58)le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vettoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero delle equazioni (FALSO: vedi la prossima)
59) le soluzioni di un sistema lineare omogeneo riempiono uno spazio vttoriale di dimensione pari al numero di variabili meno il numero massimo di equazioni linearmente indipendenti dal sistema (VERO: se il sistema è
[math]m\times n[/math]
(equazioni x variabili) allora la dimensione è data dal numero di variabili libere che è proprio pari a [math]n-m[/math]
)60)Un sistema compatibile in n incognite è sempre equivalente ad uno compatibile FALSO
61) Un sistema lineare in n incognite è sempre equivalente ad uno con al più n+1 equazioni
(Queste due domande mi sembrano formulate male: sei sicura che siano così?)
Grazie mille!!!! Per quanto riguarda le ultime 2 domande ho ricontrollato e sono scritte così, può darsi che ci sia un errore nel testo
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