Domanda teoria ANALISI 2
salve a tutti,
tra qualche settimana dovrò sotenere l'esame di ANALISI MATEMATICA 2. Mi trovo di fronte a questa domanda di teoria e non saprei minimanente come giustificare le risposte:
Sia \(\displaystyle F: \Omega \subseteq R(n) --> R(n) , \Omega aperto F \in C(1) (\Omega) tale che detDF(x) \neq 0 \forall x \subseteq \Omega \)
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:
1) Se \(\displaystyle E \subseteq M, allora F(E) \subseteq M \)(so che è vera per Lebesgue)
2)F è globalmente invertibile (falso per il teorema di invertibilità locale)
3)F è localmente invertibile (vero)
Bene gradirei ora, se è possibile, che qualcuno mi motivasse per bene le risposte. Grazie per le future risposte.
tra qualche settimana dovrò sotenere l'esame di ANALISI MATEMATICA 2. Mi trovo di fronte a questa domanda di teoria e non saprei minimanente come giustificare le risposte:
Sia \(\displaystyle F: \Omega \subseteq R(n) --> R(n) , \Omega aperto F \in C(1) (\Omega) tale che detDF(x) \neq 0 \forall x \subseteq \Omega \)
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:
1) Se \(\displaystyle E \subseteq M, allora F(E) \subseteq M \)(so che è vera per Lebesgue)
2)F è globalmente invertibile (falso per il teorema di invertibilità locale)
3)F è localmente invertibile (vero)
Bene gradirei ora, se è possibile, che qualcuno mi motivasse per bene le risposte. Grazie per le future risposte.
Risposte
"portasdonda":
salve a tutti,
tra qualche settimana dovrò sotenere l'esame di ANALISI MATEMATICA 2. Mi trovo di fronte a questa domanda di teoria e non saprei minimanente come giustificare le risposte:
Sia \(\displaystyle F: \Omega \subseteq R(n) --> R(n) , \Omega aperto F \in C(1) (\Omega) tale che detDF(x) \neq 0 \forall x \subseteq \Omega \)
Dire quali delle seguenti affermazioni sono vere:
1) Se \(\displaystyle E \subseteq M, allora F(E) \subseteq M \)(so che è vera per Lebesgue)
2)F è globalmente invertibile (falso per il teorema di invertibilità locale)
3)F è localmente invertibile (vero)
Bene gradirei ora, se è possibile, che qualcuno mi motivasse per bene le risposte. Grazie per le future risposte.
Non conoscendo l'espressione della funzione, puoi affidarti alle ipotesi che ti vengono date.
Il teorema di invertibilità locale sai cosa dice?
Nel tuo caso sono soddisfatte tutte le ipotesi del teorema dell'invertibilità locale, infatti la funzione è definita su un aperto di $R^n$ , $f$ $ in C^1(\Omega, R^n)$ e il determinante della jacobiana è diverso da zero. Allora la funzione è localmente invertibile se e solo se sono soddisfatte le ipotesi.
Per l'invertibilità globale non saprei dirti.. E interesserebbe anche a me.
"portasdonda":
Bene gradirei ora, se è possibile, che qualcuno mi motivasse per bene le risposte. Grazie per le future risposte.
Benvenuto sul forum portasdonda,
visto che è il tuo primo post ti invito a leggere il regolamento: per ottenere aiuto è necessario mostrare i propri ragionamenti. Inoltre non vi è alcun obbligo di risposta da parte degli utenti.
e per il punto 1? la M dovrebbe significare misura.grazie
p.s. infatti ho solo chiesto aiuto non preteso. Parli di ragionamento; bè ti assicuro che il mio professore ha un modo tutto suo di intendere questa materia ed è stato un miracolo già decifrare la traccia riscrivendola tramite una simbologia più consona.
p.s. infatti ho solo chiesto aiuto non preteso. Parli di ragionamento; bè ti assicuro che il mio professore ha un modo tutto suo di intendere questa materia ed è stato un miracolo già decifrare la traccia riscrivendola tramite una simbologia più consona.
"portasdonda":
e per il punto 1? la M dovrebbe significare misura.grazie
p.s. infatti ho solo chiesto aiuto non preteso. Parli di ragionamento; bè ti assicuro che il mio professore ha un modo tutto suo di intendere questa materia ed è stato un miracolo già decifrare la traccia riscrivendola tramite una simbologia più consona.
Per la 1 non saprei dirti. Aspettiamo qualcuno più espero. Ma $M$ cosa vorrebbe dire? Comunque come ha detto il moderatore sarebbe carino che tu spiegassi un po' quello che hai cercato di fare.
parlando francamente non so da dove partire poichè la teoria è stata affrontata a casaccio e il professore ha dato molto più spazio ad esercizi( integrali multipli, equazioni differenziali lineari non omogenee e studi di funzione in 2 variabili), avvertendoci che avrebbe inserito nell'esame anche quesiti teorici "particolari" come appunto questo.
la M comunque sta per la classe degli insiemi misurabili
nessuno che mi può essere di aiuto? il mio dubbio è legato all'invertibilità globale: perchè in base a quelle condizioni iniziali non posso affermare con certezza che la funzione è globalmente invertibile?
Prendi \(\Omega = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2:\ 0 < x^2+y^2 < 1\}\) e \(f(x,y) = (x^2-y^2, 2xy)\).
Hai che \(f\) soddisfa le tue ipotesi, ma non è iniettiva (i punti opposti rispetto all'origine hanno la stessa immagine).
Hai che \(f\) soddisfa le tue ipotesi, ma non è iniettiva (i punti opposti rispetto all'origine hanno la stessa immagine).
grazie mille 
, quindi giustifico il fatto che la seconda proposizione sia fALSA dicendo che non è specificata l'ingettività della funzione, corretto? magari scrivendo appunto anche l'esempio che mi hai offerto.
, quindi giustifico il fatto che la seconda proposizione sia fALSA dicendo che non è specificata l'ingettività della funzione, corretto? magari scrivendo appunto anche l'esempio che mi hai offerto.
mi correggo: non è specificata la bigettività della funzione.
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