Domanda su serie di potenze.
Una serie di potenze convergente con raggio $r>0$, e' una funzione analitica, esatto?
Per verificarlo dovrei far vedere che per ogni punto $x_0$ dentro al raggio di convergenza, si ha che la serie di Taylor costruita in tale punto $f (x_0)+f^1 (x_0)(x-x_0)+f^2 (x_0)/2 (x-x_0)+...+f^n (x_0)/(n!)(x-x_0 )^n+...... $, e' altresi covergente per ogni punto dentro al raggio di convergenza, come posso dimostrarlo? Ha senso chiedersi la su indicata domanda?
Per verificarlo dovrei far vedere che per ogni punto $x_0$ dentro al raggio di convergenza, si ha che la serie di Taylor costruita in tale punto $f (x_0)+f^1 (x_0)(x-x_0)+f^2 (x_0)/2 (x-x_0)+...+f^n (x_0)/(n!)(x-x_0 )^n+...... $, e' altresi covergente per ogni punto dentro al raggio di convergenza, come posso dimostrarlo? Ha senso chiedersi la su indicata domanda?
Risposte
Una serie di potenze (laddove converge) è una funzione analitica.
Per dimostrare quanto chiedi, considera che la serie è di termini i quali sono tutte funzioni $C^\infty)$ (e lo sono senz'altro all'interno dell'insieme di convergenza). Inoltre, ogni termine è analitico (ogni polinomio è una funzione analitica!), dunque convergente.
All'ultima tua domanda: non ha poi molto senso chiederselo, una funzione analitica è per definizione espandibile in serie di potenze.
Per dimostrare quanto chiedi, considera che la serie è di termini i quali sono tutte funzioni $C^\infty)$ (e lo sono senz'altro all'interno dell'insieme di convergenza). Inoltre, ogni termine è analitico (ogni polinomio è una funzione analitica!), dunque convergente.
All'ultima tua domanda: non ha poi molto senso chiederselo, una funzione analitica è per definizione espandibile in serie di potenze.
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