Domanda stupidotta su notazione funzione

[karamai]

Ciao, volevo chiedere una delucidazione su un utilizzo della seguente notazione.

io so che due funzioni f e g sono uguali se e solo se $f(t)=g(t) forall t in RR$

nel contesto delle curve in analisi il professore usa dire:

$gamma(t)=gamma'(s(t))$ e questo mi confonde perché s e t sono due parametri diversi, quindi non posso sfruttare il $forall t$, penso quindi intenda dire che punto a punto le immagni sono uguali?
però non posso affermare che sono la stessa funzione $gamma$ e $gamma'$, giusto?

A questo punto mi chiedevo ma se scrivo $gamma(t)=gamma''(t(s))$ a questo punto se le due sono uguali per ogni t posso affermare che $gamma=gamma''$ perché in tal caso hanno lo stesso parametro, solo che faccio notare che t è a sua volta funzione di s. Ma poco importa sull'uguaglianza.

Infine se scrivo $gamma(t)=gamma'''(r)$ anche qui vuol dire che punto a punto l'immagine è uguale ma non vuol dire che $gamma=gamma'''$


Per farla breve
1) $f=g <=> f(t)=g(t), forallt$
2) $gamma(t)=gamma'(s(t))$ questo vuol solo dire che hanno stessa immagine
3) $gamma=gamma''<=>gamma(t)=gamma''(t(s)), forallt,s$ (si veda sotto per più dettaglio), ma la mia idea qui è che t(s) come funzione "genera" gli elementi t sulla sinistra dell'uguale e quindi posso dire che sono la stessa funzione)
4) $gamma(t)=gamma'''(r)$ questa espressione vuol dire solo che hanno stessa immagine. e stop

E' corretto?

Se lo fosse ho solo un dubbio sul punto 3) difatti io quando compongo una funzione ho solo necessità che il dominio di gamma (la funzione piu esterna) contenga l'immagine di t (a dx dell'uguale è la funzione interna). Quindi potrebe succedere che a sinistra dell'uguale io abbia $t in dom(gamma)$ mentre a destra essendo $t(s)$ a me basta che $im(t)⊆dom(gamma'')=dom(gamma)$, quindi potrei avere un $t' in dom(gamma)$ t.c. $t' !in im(t)$, e quindi a questo punto non sussisterebbe l'uguaglianza $gamma=gamma''$ per ogni s e t perché potrebbe esistere un elemento $t'$ a sinistra che non è mai raggonto da un $t(s')$.
Dovrei forse rivederla con 3) $gamma'=gamma''<=>gamma(t)=gamma''(t(s)), forallt$? messa così andrebbe bene?

PS: ovviamente a destra e a sinistra dell uguale ho $t$ però a sinistra è un elemento di un insieme a destra $t$ è una funzione, tuttavia dato che per ogni punto la funzine $t(s)$ha un elemento immagine, il mio ragionamento quando dico $t in im(t)$ intendo dire che ho l'elemento $t=t(s)$ in im(t).