Domanda stupidotta su notazione funzione
Ciao, volevo chiedere una delucidazione su un utilizzo della seguente notazione.
io so che due funzioni f e g sono uguali se e solo se $f(t)=g(t) forall t in RR$
nel contesto delle curve in analisi il professore usa dire:
$gamma(t)=gamma'(s(t))$ e questo mi confonde perché s e t sono due parametri diversi, quindi non posso sfruttare il $forall t$, penso quindi intenda dire che punto a punto le immagni sono uguali?
però non posso affermare che sono la stessa funzione $gamma$ e $gamma'$, giusto?
A questo punto mi chiedevo ma se scrivo $gamma(t)=gamma''(t(s))$ a questo punto se le due sono uguali per ogni t posso affermare che $gamma=gamma''$ perché in tal caso hanno lo stesso parametro, solo che faccio notare che t è a sua volta funzione di s. Ma poco importa sull'uguaglianza.
Infine se scrivo $gamma(t)=gamma'''(r)$ anche qui vuol dire che punto a punto l'immagine è uguale ma non vuol dire che $gamma=gamma'''$
Per farla breve
1) $f=g <=> f(t)=g(t), forallt$
2) $gamma(t)=gamma'(s(t))$ questo vuol solo dire che hanno stessa immagine
3) $gamma=gamma''<=>gamma(t)=gamma''(t(s)), forallt,s$ (si veda sotto per più dettaglio), ma la mia idea qui è che t(s) come funzione "genera" gli elementi t sulla sinistra dell'uguale e quindi posso dire che sono la stessa funzione)
4) $gamma(t)=gamma'''(r)$ questa espressione vuol dire solo che hanno stessa immagine. e stop
E' corretto?
Se lo fosse ho solo un dubbio sul punto 3) difatti io quando compongo una funzione ho solo necessità che il dominio di gamma (la funzione piu esterna) contenga l'immagine di t (a dx dell'uguale è la funzione interna). Quindi potrebe succedere che a sinistra dell'uguale io abbia $t in dom(gamma)$ mentre a destra essendo $t(s)$ a me basta che $im(t)⊆dom(gamma'')=dom(gamma)$, quindi potrei avere un $t' in dom(gamma)$ t.c. $t' !in im(t)$, e quindi a questo punto non sussisterebbe l'uguaglianza $gamma=gamma''$ per ogni s e t perché potrebbe esistere un elemento $t'$ a sinistra che non è mai raggonto da un $t(s')$.
Dovrei forse rivederla con 3) $gamma'=gamma''<=>gamma(t)=gamma''(t(s)), forallt$? messa così andrebbe bene?
PS: ovviamente a destra e a sinistra dell uguale ho $t$ però a sinistra è un elemento di un insieme a destra $t$ è una funzione, tuttavia dato che per ogni punto la funzine $t(s)$ha un elemento immagine, il mio ragionamento quando dico $t in im(t)$ intendo dire che ho l'elemento $t=t(s)$ in im(t).
io so che due funzioni f e g sono uguali se e solo se $f(t)=g(t) forall t in RR$
nel contesto delle curve in analisi il professore usa dire:
$gamma(t)=gamma'(s(t))$ e questo mi confonde perché s e t sono due parametri diversi, quindi non posso sfruttare il $forall t$, penso quindi intenda dire che punto a punto le immagni sono uguali?
però non posso affermare che sono la stessa funzione $gamma$ e $gamma'$, giusto?
A questo punto mi chiedevo ma se scrivo $gamma(t)=gamma''(t(s))$ a questo punto se le due sono uguali per ogni t posso affermare che $gamma=gamma''$ perché in tal caso hanno lo stesso parametro, solo che faccio notare che t è a sua volta funzione di s. Ma poco importa sull'uguaglianza.
Infine se scrivo $gamma(t)=gamma'''(r)$ anche qui vuol dire che punto a punto l'immagine è uguale ma non vuol dire che $gamma=gamma'''$
Per farla breve
1) $f=g <=> f(t)=g(t), forallt$
2) $gamma(t)=gamma'(s(t))$ questo vuol solo dire che hanno stessa immagine
3) $gamma=gamma''<=>gamma(t)=gamma''(t(s)), forallt,s$ (si veda sotto per più dettaglio), ma la mia idea qui è che t(s) come funzione "genera" gli elementi t sulla sinistra dell'uguale e quindi posso dire che sono la stessa funzione)
4) $gamma(t)=gamma'''(r)$ questa espressione vuol dire solo che hanno stessa immagine. e stop
E' corretto?
Se lo fosse ho solo un dubbio sul punto 3) difatti io quando compongo una funzione ho solo necessità che il dominio di gamma (la funzione piu esterna) contenga l'immagine di t (a dx dell'uguale è la funzione interna). Quindi potrebe succedere che a sinistra dell'uguale io abbia $t in dom(gamma)$ mentre a destra essendo $t(s)$ a me basta che $im(t)⊆dom(gamma'')=dom(gamma)$, quindi potrei avere un $t' in dom(gamma)$ t.c. $t' !in im(t)$, e quindi a questo punto non sussisterebbe l'uguaglianza $gamma=gamma''$ per ogni s e t perché potrebbe esistere un elemento $t'$ a sinistra che non è mai raggonto da un $t(s')$.
Dovrei forse rivederla con 3) $gamma'=gamma''<=>gamma(t)=gamma''(t(s)), forallt$? messa così andrebbe bene?
PS: ovviamente a destra e a sinistra dell uguale ho $t$ però a sinistra è un elemento di un insieme a destra $t$ è una funzione, tuttavia dato che per ogni punto la funzine $t(s)$ha un elemento immagine, il mio ragionamento quando dico $t in im(t)$ intendo dire che ho l'elemento $t=t(s)$ in im(t).
Risposte
Non ha senso scrivere "per ogni $t$ e per ogni $s$, $f(t)=g(t(s))$. Non ha nessun senso.
Quando scrivi $t(s)$ questo significa che $t$ è una funzione di $s$, e quindi dato $s$, il valore $t(s)$ è univocamente determinato. Stai considerando $t$ come funzione di $s$? Per esempio $t=t(s)=s^2+2s$. È questo che stai facendo?
Quando scrivi $t(s)$ questo significa che $t$ è una funzione di $s$, e quindi dato $s$, il valore $t(s)$ è univocamente determinato. Stai considerando $t$ come funzione di $s$? Per esempio $t=t(s)=s^2+2s$. È questo che stai facendo?
@Martino
Sì esatto facevo quello
La mia idea era questa, la dico a parole: volevo dire se io ho una $f(t)$ e ho una $g(T(s))$ se riesco a mostrare che quando ho uguaglianza tra le immagini di f e g date una t e una s per cui t=T(s) coincidono, allora sono uguali f e g.
notazione: uso T(s) solo per dire che è la funzione o meglio l'immagine di s tramite T e ditinguerla dall'oggetto t a sx. Io quindi dico ogni volta che l'immagine di s tramite T coincide con t e mostro che $f(t)=g(T(s))$ allora concludo che f e g sono uguali.
Il senso insensato della scrittura della pagina prima (γ=γ''⇔γ(t)=γ''(t(s)),∀t,s) era solo quello. Volevo renderlo scritto bene anziché a parole. Ma ho fallito :'D e non so se si possa a questo punto.
Sì esatto facevo quello
La mia idea era questa, la dico a parole: volevo dire se io ho una $f(t)$ e ho una $g(T(s))$ se riesco a mostrare che quando ho uguaglianza tra le immagini di f e g date una t e una s per cui t=T(s) coincidono, allora sono uguali f e g.
notazione: uso T(s) solo per dire che è la funzione o meglio l'immagine di s tramite T e ditinguerla dall'oggetto t a sx. Io quindi dico ogni volta che l'immagine di s tramite T coincide con t e mostro che $f(t)=g(T(s))$ allora concludo che f e g sono uguali.
Il senso insensato della scrittura della pagina prima (γ=γ''⇔γ(t)=γ''(t(s)),∀t,s) era solo quello. Volevo renderlo scritto bene anziché a parole. Ma ho fallito :'D e non so se si possa a questo punto.
Mi dispiace ma non capisco.
Cosa sono le immagini di cui parli?
Cosa sono le immagini di cui parli?
le immagini degli elementi del dominio.
volevo fare qualcosa tipo $f(x)=g(x)$ per ogni x in A <=> f=g, che dice che se tutte le immagini di un dato x uguale a sinistra e destra sono uguali per ogni x nell' insieme A, tramite le due funzioni f e g, allora f e g sono uguali (e viceversa)
volevo fare qualcosa tipo $f(x)=g(x)$ per ogni x in A <=> f=g, che dice che se tutte le immagini di un dato x uguale a sinistra e destra sono uguali per ogni x nell' insieme A, tramite le due funzioni f e g, allora f e g sono uguali (e viceversa)
Ma allora è meglio se dici che "se $f(T(s))=g(T(s))$ per ogni $s$, allora $f=g$". Questo è vero se l'insieme degli elementi del tipo $T(s)$ è uguale al dominio di $f$ e di $g$.
Alllora è meglio dire quello, no?
Se le due funzioni hanno codomini diversi cosa succede?
Se le due funzioni hanno codomini diversi cosa succede?
Due funzioni che agiscono su insiemi diversi per definizione non sono uguali.
Quello che probabilmente vuoi dire è che hanno la stessa immagine... Per dire ciò basta scrivere che:
\[
\forall y \in \operatorname{Im}(f),\ \exists s \in \operatorname{Dom}(g):\ g(s) = y
\]
e viceversa:
\[
\forall y \in \operatorname{Im}(g),\ \exists t \in \operatorname{Dom}(f):\ f(t) = y\; .
\]
Quello che probabilmente vuoi dire è che hanno la stessa immagine... Per dire ciò basta scrivere che:
\[
\forall y \in \operatorname{Im}(f),\ \exists s \in \operatorname{Dom}(g):\ g(s) = y
\]
e viceversa:
\[
\forall y \in \operatorname{Im}(g),\ \exists t \in \operatorname{Dom}(f):\ f(t) = y\; .
\]
Gugo: era per me?
"Martino":E' vero, però mi immaginavo tipo un caso in cui avevo una funzione f(t) che "operava" su un insieme A da cui pescavo i t, e volevo confrontarla con g(T(s)) cioè g composta con una funzione T(s) e mi chiedevo quando f e g sono uguali e avevo cercato di capire come rendere la cosa in modo formalmente valido.
Ma allora è meglio se dici che "se $f(T(s))=g(T(s))$ per ogni $s$, allora $f=g$". Questo è vero se l'insieme degli elementi del tipo $T(s)$ è uguale al dominio di $f$ e di $g$.
E in effetti mi accorgevo che ciò accadeva solo se T(s)=t per tutti gli elementi t.
Il metodo che giustamente dici però parte già dall'assunto di sapere già T(s)=t, e lo sostituisci in f(t) ma così facendo ho f(T(s)) e non più la f(t) che avevo inizialmente. No? E' una composizion mentre io avevo una f che agiva su A che a priori non sapevo essere A=im[T(s)]
Quello che probabilmente vuoi dire è che hanno la stessa immagine...Ho capito quello, si per f(x)=f(y) intendevo quello.
Se le due funzioni hanno codomini diversi cosa succede?che sono diverse, direi.
"ghira":
Gugo: era per me?
No, per karamai.
"karamai":Ma infatti tutto quel discorso vale solo se $A$ è uguale all'immagine di $T$. Cioè se ogni elemento di $A$ può essere scritto come $T(s)$ (e ogni elemento del tipo $T(s)$ sta in $A$) allora per verificare che $f=g$ basta verificare che $f(T(s))=g(T(s))$ per ogni $s$. Se non ogni elemento di $A$ può essere scritto come $T(s)$ allora per verificare che $f=g$ NON è sufficiente mostrare che $f(T(s))=g(T(s))$ per ogni $s$.
a priori non sapevo essere A=im[T(s)]
Ora però mi viene un dubbio, tu sei interessato all'uguaglianza tra $f$ e $g$ o all'uguaglianza tra i loro supporti? Il supporto di una funzione $f$ di dominio $Dom(f)$ è uguale a ${f(x) : x in Dom(f)}$, cioè è l'insieme degli elementi della forma $f(x)$ dove $x$ varia nel dominio di $f$.
Uguaglianza tra funzioni: $f=g$.
Uguaglianza tra supporti: ${f(x) : x in Dom(f)} = {g(y) : y in Dom(g)}$
Perché se ti interessa solo l'ugugaglianza tra i supporti di $f$ e $g$ la questione è molto diversa. Per esempio $f(t) = (cos(t),sin(t))$ e $g(t)=(cos(2t),sin(2t))$ (con dominio $RR$ entrambe) sono due funzioni diverse con lo stesso supporto.
Cioè se ti interessa mostrare che due funzioni hanno lo stesso supporto, è sbagliato tentare di dimostrare che sono funzioni uguali, perché potrebbero essere diverse ma avere lo stesso supporto.
"Martino":
Il supporto di una funzione $f$ di dominio $Dom(f)$ è uguale a ${f(x) : x in Dom(f)}$, cioè è l'insieme degli elementi della forma $f(x)$ dove $x$ varia nel dominio di $f$.
Pensavo che il supporto fosse o ${x | f(x)!=0}$ o, secondo il contesto, la chiusura di ${x | f(x)!=0}$. Per esempio, https://it.wikipedia.org/wiki/Supporto_(matematica) - ok qui vedo anche "Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva." che non sapevo. E un'altra definizione diversa per una misura su uno spazio misurabile.
Wolfram Mathworld è più succinto: https://mathworld.wolfram.com/Support.html
ok qui vedo anche "Nel caso di una curva, il supporto è definito come l'immagine della parametrizzazione della curva." che non sapevo.Sì, io la sapevo così. Quindi in uno dei 4 esempi intendevo proprio quello.
@Martino: si mi è chiaro, ti ringrazio
.Per il resto, in realtà stavo analizzando tutti i casi. Avevo appuno analizzato il caso da te fornito e poi mi ero anche spostato su uguaglianza di supporti.
In modo fallimentare avevo provato a renderlo così: " $γ(t)=γ'''(r)$ questa espressione vuol dire solo che hanno stessa immagine " e mettendoci il per ogni; ma non funzionava affatto per le obiezioni che mi avete e hai mosso.
Invece, ${f(x):x∈Dom(f)}={g(y):y∈Dom(g)}$ questo era il modo.
Oppure come diceva gugo:
\[
\forall y \in \operatorname{Im}(f),\ \exists s \in \operatorname{Dom}(g):\ g(s) = y
\]
e viceversa:
\[
\forall y \in \operatorname{Im}(g),\ \exists t \in \operatorname{Dom}(f):\ f(t) = y\; .
\]
che dovrebbero dir la stessa cosa
, non so bene come dimostrarlo ma a intuito mi paiono uguali appunto
Ah no già, che scemo, devo saperlo dimostrare:
$A={f(t)|t in domf}={g(s)|s in dom g}=B$
Ma ${g(s)|s in domf}={w|∃s in dom g : g(s)=w}$
L'uguaglianza è la doppia inclusione, e quindi... facciamone una:
$y in A => y in B$
cioè
$forall y in A$ abbiamo che $y in {w|∃s in dom g : g(s)=w} <=> ∃s in dom g : g(s)=y$ et voilà quello di gugo coincide con quello che hai scritto.
$A={f(t)|t in domf}={g(s)|s in dom g}=B$
Ma ${g(s)|s in domf}={w|∃s in dom g : g(s)=w}$
L'uguaglianza è la doppia inclusione, e quindi... facciamone una:
$y in A => y in B$
cioè
$forall y in A$ abbiamo che $y in {w|∃s in dom g : g(s)=w} <=> ∃s in dom g : g(s)=y$ et voilà quello di gugo coincide con quello che hai scritto.
Quindi è del supporto che stai parlando, cioè vuoi sapere come si dimostra che due funzioni (curve) hanno lo stesso supporto, giusto?
Dico "supporto" perché si sta parlando di curve. Come dice ghira se $f$ è una funzione qualsiasi, l'insieme ${f(x) : x in Dom(f)}$ è di solito chiamato "insieme immagine" di $f$ e di solito quando rappresenta una curva si chiama supporto di $f$. Basta capirsi.
Dico "supporto" perché si sta parlando di curve. Come dice ghira se $f$ è una funzione qualsiasi, l'insieme ${f(x) : x in Dom(f)}$ è di solito chiamato "insieme immagine" di $f$ e di solito quando rappresenta una curva si chiama supporto di $f$. Basta capirsi.
Non so se ho mandato l'ultimo messaggio mentre scrivevi e quindi hai avuto modo di leggerlo.
I realtà parlavo un po' di tutto, volevo capre le varie notazioni tra le curve e come e quando esprimerne le uguaglianze in situazionii diverse e mi avete fatto capire direi tutto quello che mi era dubbio. Tra le altre cose c'era il supporto=immagine (quello mi era chiaro, come nomenclatura).
.
Però direi che tutti gli altri dubbi mi sembrao chiari ora.
I realtà parlavo un po' di tutto, volevo capre le varie notazioni tra le curve e come e quando esprimerne le uguaglianze in situazionii diverse e mi avete fatto capire direi tutto quello che mi era dubbio. Tra le altre cose c'era il supporto=immagine (quello mi era chiaro, come nomenclatura).
cioè vuoi sapere come si dimostra che due funzioni (curve) hanno lo stesso supporto, giusto?a questo punto del discorso, in effetti, ne sono ora curioso nn avendolo ancora visto
.Però direi che tutti gli altri dubbi mi sembrao chiari ora.
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