Domanda stupida su derivate....

[Skorpjone]

allora, non capisco una cosa riguardante le derivate delle funzioni esponenziali: se, data $y=a^x$, sarà $y'=a^x*loga$,
questa funzione:

$y=x^(senx)$

secondo me dovrebbe avere per derivata $y'=x^(senx)*logx*cosx*$ e invece c'è un termine in più ossia $senx/x$....da dove esce?

[_nicola de rosa]

"Skorpjone":allora, non capisco una cosa riguardante le derivate delle funzioni esponenziali: se, data $y=a^x$, sarà $y'=a^x*loga$,
questa funzione:

$y=x^(senx)$

secondo me dovrebbe avere per derivata $y'=x^(senx)*logx*cosx*$ e invece c'è un termine in più ossia $senx/x$....da dove esce?

$y=x^(sinx)=e^(sinx*lnx)$ e la derivata è
$y'=e^(sinx*lnx)*(cosx*lnx+(sinx)/x)=x^(sinx)*(cosx*lnx+(sinx)/x)$
Devi fare la derivata dell'esponente dell'esponenziale cioè di $sinx*lnx$ applicando la regola di derivazione del prodotto di due funzioni

[Mortimer1]

La funzione da te citata non è una semplice esponenziale ma una composta nella forma$f(x)^g(x)$

[Mortimer1]

Prova a deliziarti con questa derivata $x^(x^(x))$

[_nicola de rosa]

"Mortimer":Prova a deliziarti con questa derivata $x^(x^(x))$

$x^(x^(x))=e^(lnx*e^(x*lnx))$ la cui derivata è $x^(x^x)*(lnx*e^(x*lnx))'=x^(x^x)*(x^x/x+lnx*x^x*(lnx+1))$=
$x^(x^x)*(x^(x-1)+x^x*(ln^2x+lnx))$

[Skorpjone]

no, scusate, ma mi è poco chiaro.....il fatto che sia una esponenziale del tipo $f(x)^(g(x))$ mi porta a calcolare la derivata in questa maniera: prima calcolo la derivata di $x^(senx)$ in quanto tale, e quindi viene $x^(senx)*logx$.....poi calcolo la derivata dell'esponente $senx$, ovvero $cosx$ e la moltiplico al prodotto di prima......ma cosa è che mi manca? perchè devo calcolare la derivata di $senx*logx$?

[Mortimer1]

$x^x$ non è una semplice esponenziale. E' una funzione composta dalla funzione potenza e dalla esponenziale. La regola di derivazione di $f^g$ è la trasformazione, sfruttando le proprietà esponenziali-logaritmiche, nella forma $e^(glogf)$
E' da qui che devi partire per il calcolo della derivata

[Skorpjone]

ok, credo di aver capito.....grazie mille, mi state togliendo un bel po di dubbi....