Domanda di teoria: serie di potenze

[smirne1]

Salve,

avrei un dubbio piuttosto stupido legato alla definizione di serie di potenze che sto iniziando a studiare ora.

In particolare la definizione è:serie di potenze := $\sum_(n=0)^(+oo) a_n(x-x_0)^n$

e ho visto i vari teoremi correlati classici:
-abel
-hadamard (radice)
-d'alambert (rapporto)
-e un teorema fondamentale sul raggio di convergenza

Il mio dubbio è se mi trovassi una serie:

$\sum_(n=k)^(+oo) a_n(x-x_0)^n$ con k>0

tali teoremi varrebbero lo stesso? E' comunque una srie di potenze?

Il dubbio mi è sorto studiando:

$\sum_(n=0)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$

E mi accorgo che il criterio delrapporto non sarebbe applicabile poiché $a_n=0$, però mettiamo di far partire tale serie da

$\sum_(n=3)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$
arriverei all'assurdo che:

- col criterio della radice trovo $\rho=1/4$
- con quello di del rapporto $\rho=e/4$ poiché $a_n>0, n>3$

quindi evidentemente se faccio partire la serie di potenze da un valoredi n diverso da zero qualcosa cambia, però in teoria facendo partire le serie daun n qualunque il loro carattere non cambia.

[smirne1]

Non so il perché ma mi faceva strano che escludendo un certo numero di termini non variasse la "lunghezza" del raggio di convergenza. Però in effetti è proprio così.

Grazie Gugo e scusa per prima, non avevo proprio letto!

[gugo82]

Prego... Ma vorrei vedere se è tutto davvero chiaro.

Puoi applicare il criterio di d’Alembert alle serie:
\[
\begin{split}
&\sum_{n=0}^\infty \frac{1-(-1)^n}{n+1}\ x^n \;,\\
&\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{3^n}\ x^{2n} \;,\\
&\sum_{n=0}^\infty \frac{n}{e^{3n}}\ x^{n!} \;?
\end{split}
\]

[smirne1]

Ti voglio ringraziare per gli stimoli che mi porti, ho appena finito di studiare e sono un po' stanco ma ci voglio provare.

1)
La prima applicherei brutalmente il criterio e troverei raggio 1.

2)
La seconda mi puzza, non ho mai trovato una $x^(2n)$ (c'era sempre una sola n) negli esercizi che ho svolto finora dunque vado a naso.
La mia idea è che potrei forse scrivere:

a) $\sum_(n>0)1/3^nx^(2n)=\sum_(n>0)1/(sqrt(3))^(2n)x^(2n)$

mi sono così ricondotto ad avere stesso esponente (2n) e stesso termine $a_(2n)$

se ora scrivessi K=2n avrei

$1/(sqrt(3))^(k)x^(k)$ il problema è che so traslare una "sommatoria" ma non so come fare con un coefficiente moltiplicativo che moltiplica n, potrei scrivere:

$\sum_(k=2n>0)1/(sqrt(3))^(k)x^(k)$

e applicare poi il criterio

b) ci vuole sempre un piano "b", sostituisco t=x^2

$\sum_(n>0)1/3^nt^(n)$

a questo punto applico il criterio e una volta trovato l'intervallo I di convergenza I=(-a,a) ossia -a
3)
forte del metodo "b" farei $t=x^((n-1)!)$

e riscrivo la serie come

$\sum_(n>0) n/e^(3n)t^n$ ups! problema al denominatore se applicassi il criterio, la faccio partire da 1 e dovrei risolverlo:

cioè userei: $sum_(n>N) a_n(x-x_0)^n$

l'idea sarebbe di partire da un n>1 mi dovrei levare l'impiccio e avrei:

$\sum_(n>1) n/e^(3n)t^n$

dovrei arrivare ad avere un rho pari a $1/e^3$ quindi $-1/e^3

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[gugo82]

"smirne":Ti voglio ringraziare per gli stimoli che mi porti, ho appena finito di studiare e sono un po' stanco ma ci voglio provare.

1)
La prima applicherei brutalmente il criterio e troverei raggio 1.

No.

La serie ha infiniti coefficienti nulli, poiché:
\[
a_n := \begin{cases} 2/(n+1) &\text{, se } n \text{ è dispari} \\ 0 &\text{, se } n \text{ è pari}\end{cases} \;,
\]
dunque il criterio non si applica.

Tuttavia, sopprimendo gli addendi nulli si ottiene la serie:
\[
\sum_{h = 0}^\infty \frac{2}{2h+2}\ x^{2h+1}
\]
che si può gestire col criterio di d’Alembert facendo un cambiamento di variabile.

2)
La seconda mi puzza, non ho mai trovato una $x^(2n)$ (c'era sempre una sola n) negli esercizi che ho svolto finora dunque vado a naso.
La mia idea è che potrei forse scrivere:

a) $\sum_(n>0)1/3^nx^(2n)=\sum_(n>0)1/(sqrt(3))^(2n)x^(2n)$

mi sono così ricondotto ad avere stesso esponente (2n) e stesso termine $a_(2n)$

se ora scrivessi K=2n avrei

$1/(sqrt(3))^(k)x^(k)$ il problema è che so traslare una "sommatoria" ma non so come fare con un coefficiente moltiplicativo che moltiplica n, potrei scrivere:

$\sum_(k=2n>0)1/(sqrt(3))^(k)x^(k)$

e applicare poi il criterio

Sì, grosso modo, va bene.

b) ci vuole sempre un piano "b", sostituisco t=x^2

$\sum_(n>0)1/3^nt^(n)$

a questo punto applico il criterio e una volta trovato l'intervallo I di convergenza I=(-a,a) ossia -a
Questo sì (cambiamento di variabile).

Resta però il fatto che il criterio non è applicabile alla tua serie com’è, perché essa manca delle potenze con esponente dispari, ergo in suoi coefficienti sono:
\[
a_n := \begin{cases} 1/3^n &\text{, se } n \text{ è pari}\\ 0 &\text{, se } n \text{ è dispari}\end{cases}
\]
ed essendocene infiniti nulli il criterio non è applicabile.

3)
forte del metodo "b" farei $t=x^((n-1)!)$

e riscrivo la serie come

$\sum_(n>0) n/e^(3n)t^n$ ups! problema al denominatore se applicassi il criterio, la faccio partire da 1 e dovrei risolverlo:

cioè userei: $sum_(n>N) a_n(x-x_0)^n$

l'idea sarebbe di partire da un n>1 mi dovrei levare l'impiccio e avrei:

$\sum_(n>1) n/e^(3n)t^n$

dovrei arrivare ad avere un rho pari a $1/e^3$ quindi $-1/e^3
Ovvio che è non valida... Pretendi di fare un cambiamento di variabile che contiene l’indice di sommazione.

Nemmeno a questa serie è applicabile il criterio, perché essa manca di infinite potenze. Infatti, ad esempio, mancano tutti i termini corrispondenti z potenze di esponente dispari, perché i numeri dispari non sono dei fattoriali.
I coefficienti della serie sono:
\[
a_n := \begin{cases} h! &\text{, se } n=h! \text{ per qualche } h \in \mathbb{N}\\ 0 &\text{, altrimenti}\end{cases}
\]
e ce ne sono infiniti nulli.

[smirne1]

Buondì gugo

Vorrei mettere a posto un poco le idee

1) E' vero, sulla prima sono stato troppo precipitoso non mi ero accorto che i due 1 a numeratore si elidessero. Tuttavia una volta giunto qui:

\[
\sum_{h = 0}^\infty \frac{2}{2h+2}\ x^{2h+1}
\]

La mia idea sarebbe stata di fare il limite di:

$|a_(n+1)/a_n|=|(2h+2)/(2(h+1)+2)|$

Non ho capito, invece, come fare il cambio variabile cui accenni.

2)
Non ho ben afferrato il motivo per cui dici che su $\sum_(n>0)1/3^nt^(n)$

Resta però il fatto che il criterio non è applicabile alla tua serie com’è, perché essa manca delle potenze con esponente dispari, ergo in suoi coefficienti son

In realtà ho fatto il cambio variabile in t proprio per togliermi dai piedi il fatto che avessi esponenti di x pari e dispari no (quindi coefficiente nullo). Infatti così facendo ho n (esponente di t) che varia in tutti i naturali. Cambiando variabile non basta a levarmi l'impiccio? Se no, non riesco a capire perché non funzioni soprattutto perché dopo aver fatto ilcambio variabile mi sembrava di poter applicare il rapposto su $\sum_(n>0)1/3^nt^(n)$ .

3) beh per la terza mi pare di capire non ci siano cambiamenti o trucchetti possibili, dovrei usare criteri diversi. Stavo pensando al criterio della radice, ma non capisco come gestire il fatto che l'esponente di x è n!, mentre il coefficiente è una funzione di n (non è una funzione di n!) questa cosa mi manda un po' in crisi [ne parlo sotto **]quando esponente di x non coincide con a(n).
Funzionerebbe la radice applicata in questo caso sulla serie proposta? (cioè applico la radice al coefficiente di quella serie che hai proposto)

]**
Per fare un esempio mettiamo la serie facilissima: $\sum_(n>1) 1/n^2x^(n+1)$ (*) non capisco se posso applicarci tranquillamente i vari criteri (es radice) senza far alcun lavoro sulla serie oppure se per il fatto che l'esponente di x=n+1 mentre il coefficiente varia assumendo tutti gli n sfasati di 1 mi crei problemi. Cioè potrei applicarlo solo se $\sum_(n>1) 1/n^2x^(n+1)$ e quindi dovrei lavorare sulla (*) ponendo $k=n+1$ e ottenere: $\sum_(k>2) 1/(k-1)^2x^k$ che in questo caso darebbe lo stesso risultato, ma non capisco se sia una regola generale o un caso del'esempio specifico.
Insomma, in altre parole, sel'esponente di x deve essere negli stessi termini delcoeffciente.

Grazie per il tuo tempo ,
buona domenica