Domanda di teoria: serie di potenze
Salve,
avrei un dubbio piuttosto stupido legato alla definizione di serie di potenze che sto iniziando a studiare ora.
In particolare la definizione è:serie di potenze := $\sum_(n=0)^(+oo) a_n(x-x_0)^n$
e ho visto i vari teoremi correlati classici:
-abel
-hadamard (radice)
-d'alambert (rapporto)
-e un teorema fondamentale sul raggio di convergenza
Il mio dubbio è se mi trovassi una serie:
$\sum_(n=k)^(+oo) a_n(x-x_0)^n$ con k>0
tali teoremi varrebbero lo stesso? E' comunque una srie di potenze?
Il dubbio mi è sorto studiando:
$\sum_(n=0)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$
E mi accorgo che il criterio delrapporto non sarebbe applicabile poiché $a_n=0$, però mettiamo di far partire tale serie da
$\sum_(n=3)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$
arriverei all'assurdo che:
- col criterio della radice trovo $\rho=1/4$
- con quello di del rapporto $\rho=e/4$ poiché $a_n>0, n>3$
quindi evidentemente se faccio partire la serie di potenze da un valoredi n diverso da zero qualcosa cambia, però in teoria facendo partire le serie daun n qualunque il loro carattere non cambia.
avrei un dubbio piuttosto stupido legato alla definizione di serie di potenze che sto iniziando a studiare ora.
In particolare la definizione è:serie di potenze := $\sum_(n=0)^(+oo) a_n(x-x_0)^n$
e ho visto i vari teoremi correlati classici:
-abel
-hadamard (radice)
-d'alambert (rapporto)
-e un teorema fondamentale sul raggio di convergenza
Il mio dubbio è se mi trovassi una serie:
$\sum_(n=k)^(+oo) a_n(x-x_0)^n$ con k>0
tali teoremi varrebbero lo stesso? E' comunque una srie di potenze?
Il dubbio mi è sorto studiando:
$\sum_(n=0)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$
E mi accorgo che il criterio delrapporto non sarebbe applicabile poiché $a_n=0$, però mettiamo di far partire tale serie da
$\sum_(n=3)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$
arriverei all'assurdo che:
- col criterio della radice trovo $\rho=1/4$
- con quello di del rapporto $\rho=e/4$ poiché $a_n>0, n>3$
quindi evidentemente se faccio partire la serie di potenze da un valoredi n diverso da zero qualcosa cambia, però in teoria facendo partire le serie daun n qualunque il loro carattere non cambia.
Risposte
Ciao!
Partiamoci dalla preistoria: supponi di avere una successione reale $a_n$ e sia ${b_0,...,b_(m-1)}$ un insieme di numeri
Definisci $c_n:={(a_n if ngeqm),(b_n if 0leqn
Mostra che $sum_(n=0)^(+infty)a_n$ e $sum_(n=0)^(+infty)c_n$ hanno lo stesso carattere.
Cosa puoi dire quindindi $sum_(n=m)^(infty)a_n$?
Partiamoci dalla preistoria: supponi di avere una successione reale $a_n$ e sia ${b_0,...,b_(m-1)}$ un insieme di numeri
Definisci $c_n:={(a_n if ngeqm),(b_n if 0leqn
Mostra che $sum_(n=0)^(+infty)a_n$ e $sum_(n=0)^(+infty)c_n$ hanno lo stesso carattere.
Cosa puoi dire quindindi $sum_(n=m)^(infty)a_n$?
Ciao anto_zoolander,
Oltre al fatto che converga non saprei bene che altro dire
Ma non credo fosse quello che volevi farmi intuire
Oltre al fatto che converga non saprei bene che altro dire
Ma non credo fosse quello che volevi farmi intuire
Lo scopo è quello che affermare che una possibile ridefinizione di una quantità finita di termini non ne alteri il comportamento. Infatti in genere quando hai una serie del tipo
puoi ridefinire i primi $m$ termini ponendo $b_n:={(a_n if ngeqm),(0 if 0leqn
ottenendo che $sum_(n=0)^(+infty)b_n$ e $sum_(n=m)^(+infty)a_n$ hanno lo stesso carattere
$sum_(n=m)^(+infty)a_n$
puoi ridefinire i primi $m$ termini ponendo $b_n:={(a_n if ngeqm),(0 if 0leqn
ottenendo che $sum_(n=0)^(+infty)b_n$ e $sum_(n=m)^(+infty)a_n$ hanno lo stesso carattere
Certo allora ci sono, ma è quello che scrivevo male nel primo post.
In realtà mi sono spiegato male sul dubbio temo, devi scusarmi.
Quello che volevo dire è che: sapendo che "togliendo" una quantità finita di termini iniziali il carattere non cambia, allora ipotizzavo che anche la definizione di serie di potenze non sarebbe cambiata (essendo una serie) facendola partire da un k>0 (infatti è una serie di potenze anche per k=4 di partenza).
Il problema è però per
Qualcosa non va in tal caso, perché ridefinendola da un k=3 qualsiasi mi sembra che il teorema del rapporto non funzioni, trovo due raggi di convergenza diveri!
Forse nel caso in cui si fa partire da k>0 i teoremi
-abel
-hadamard (radice)
-d'alambert (rapporto)
-e un teorema fondamentale sul raggio di convergenza
andrebbero ridefiniti? Non riesco a spiegarmi perché non funzioni altrimenti.
In realtà mi sono spiegato male sul dubbio temo, devi scusarmi.
Quello che volevo dire è che: sapendo che "togliendo" una quantità finita di termini iniziali il carattere non cambia, allora ipotizzavo che anche la definizione di serie di potenze non sarebbe cambiata (essendo una serie) facendola partire da un k>0 (infatti è una serie di potenze anche per k=4 di partenza).
Il problema è però per
[quote][/quote]
tali teoremi varrebbero lo stesso? E' comunque una serie di potenze?
Il dubbio mi è sorto studiando:
$\sum_(n=0)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$
E mi accorgo che il criterio delrapporto non sarebbe applicabile poiché $a_n=0$, però mettiamo di far partire tale serie da
$\sum_(n=3)^(+oo) (n/(2n+1))^(2n-1)(x-3)^n$
arriverei all'assurdo che:
- col criterio della radice trovo $\rho=1/4$
- con quello di del rapporto $\rho=e/4$ poiché $a_n>0, n>3$ ora posso applicarlo dato che n parte da un k>0, k=3
quindi evidentemente se faccio partire la serie di potenze da un valoredi n diverso da zero qualcosa cambia, però in teoria facendo partire le serie da un n qualunque il loro carattere non cambia.
Qualcosa non va in tal caso, perché ridefinendola da un k=3 qualsiasi mi sembra che il teorema del rapporto non funzioni, trovo due raggi di convergenza diveri!
Forse nel caso in cui si fa partire da k>0 i teoremi
-abel
-hadamard (radice)
-d'alambert (rapporto)
-e un teorema fondamentale sul raggio di convergenza
andrebbero ridefiniti? Non riesco a spiegarmi perché non funzioni altrimenti.
Non ti preoccupare 
Guarda che con il criterio del rapporto viene sempre $1/4$.
Guarda che con il criterio del rapporto viene sempre $1/4$.
Certo che se sbaglio i conti
Però la domanda resta valida nel senso che vi sono serie (mettiamo che abbia a_n=(qualcosa/n)) che se facciamo partire da n=0 non potrebbe funzionare il criterio del rapporto.
Mettiamo di prendere la stessa per cui invece si parta da n>0, a questo punto potrebbe succedere che criterio del rapporto e della radice non coincidano?
O in altri termini, quei teoremi rimarrebbero gli stessi per qualunuqe n si parta?
Sono all'inizio quindi le dimostrazioni non le ho ancora viste oggi, forse con esse si chiarirebbero e nei prossimi giorni ci ragionerò sopra, ma mi piacerebbe capire questa faccenda.
Grazie anto_
Però la domanda resta valida nel senso che vi sono serie (mettiamo che abbia a_n=(qualcosa/n)) che se facciamo partire da n=0 non potrebbe funzionare il criterio del rapporto.
Mettiamo di prendere la stessa per cui invece si parta da n>0, a questo punto potrebbe succedere che criterio del rapporto e della radice non coincidano?
O in altri termini, quei teoremi rimarrebbero gli stessi per qualunuqe n si parta?
Sono all'inizio quindi le dimostrazioni non le ho ancora viste oggi, forse con esse si chiarirebbero e nei prossimi giorni ci ragionerò sopra, ma mi piacerebbe capire questa faccenda.
Grazie anto_
"smirne":
Però la domanda resta valida nel senso che vi sono serie (mettiamo che abbia a_n=(qualcosa/n)) che se facciamo partire da n=0 non potrebbe funzionare il criterio del rapporto.
"E se mia nonna avesse le ruote..."
Se hai un $n$ al denominatore, prendere $n=0$ è proibitissimo, anche nei peggiori bar di Caracas.
"smirne":
Mettiamo di prendere la stessa per cui invece si parta da n>0, a questo punto potrebbe succedere che criterio del rapporto e della radice non coincidano?
O in altri termini, quei teoremi rimarrebbero gli stessi per qualunuqe n si parta?
Prova a ragionarci da solo.
Dovrebbe cambiare qualcosa? Perché?
"smirne":
Sono all'inizio quindi le dimostrazioni non le ho ancora viste oggi, forse con esse si chiarirebbero e nei prossimi giorni ci ragionerò sopra, ma mi piacerebbe capire questa faccenda.
E ciò è male.
Si studia la teoria prima e si fanno gli esercizi poi; quando un esercizio non si capisce come risolverlo, si rivede la teoria e ci si ritorna.
Ripeto: fare esercizi senza conoscere la teoria è male.
"gugo82":
"E se mia nonna avesse le ruote..."
Se hai un $n$ al denominatore, prendere $n=0$ è proibitissimo, anche nei peggiori bar di Caracas.
Ho commesso una grave inesattezza, volevo dire a_n=n/qualcosa, come nell'esempio riportatovcosì che quando si va a fare $a_(n+1)/a_n$ possono succedere le cose di caracas
ciò è male.
Si studia la teoria prima e si fanno gli esercizi poi; quando un esercizio non si capisce come risolverlo, si rivede la teoria e ci si ritorna.
Ripeto: fare esercizi senza conoscere la teoria è male.
Anche qui hai più che ragione, ma non sono esercizi, sono esercizi svolti dal professore dopo gli enunciati, io sto solo seguendo la normale didattica.
Ripeto hai ragionissima sugli esercizi invece. Ma non sto facendo esercizi, solo risolvendo i miei dubbi sorti dalla teoria e dalle spiegazioni.
Prova a ragionarci da solo.
Dovrebbe cambiare qualcosa? Perché?
Una delle cose che mi sembrava cambiare era proprio il fatto che il criterio del rapporto poteva iniziare a funzionare (per alcuni casi in cui non funzionava) e mi chiedevo se potesse succedere qualche cosa strana.
In reltà l'idea era proprio ragionare su quanto dici tu,e questo era uno degli esempi.
Ti ringrazio per l'aiuto gugo
"smirne":
[quote="gugo82"]
"E se mia nonna avesse le ruote..."
Se hai un $n$ al denominatore, prendere $n=0$ è proibitissimo, anche nei peggiori bar di Caracas.
Ho commesso una grave inesattezza, volevo dire a_n=n/qualcosa, come nell'esempio riportatovcosì che quando si va a fare $a_(n+1)/a_n$ possono succedere le cose di caracas
[/quote]Ok, ho capito il dubbio ora... E tutto dipende da quel che viene dopo.
"smirne":E ciò è male.
Si studia la teoria prima e si fanno gli esercizi poi; quando un esercizio non si capisce come risolverlo, si rivede la teoria e ci si ritorna.
Ripeto: fare esercizi senza conoscere la teoria è male.
Anche qui hai più che ragione, ma non sono esercizi, sono esercizi svolti dal professore dopo gli enunciati, io sto solo seguendo la normale didattica.
Ripeto hai ragionissima sugli esercizi invece. Ma non sto facendo esercizi, solo risolvendo i miei dubbi sorti dalla teoria e dalle spiegazioni.
Ok, ma quando rimetti a posto gli appunti (come dico sempre ai miei studenti), l'ordine corretto delle cose deve essere ristabilito a discapito dell'ordine col quale (per la cronica mancanza di tempo) i docenti propongono gli argomenti a lezione.
L'ordine "giusto" potrebbe essere il seguente:
[list=1][*:1y9rawht] Definizione
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Osservazioni sulla Definizione
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Esempi (degli oggetti definiti)
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Osservazioni sugli Esempi
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Enunciato del Teorema
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Osservazioni sull'Enunciato
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Dimostrazione del Teorema
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Osservazioni sulla Dimostrazione
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Esempi di Applicazione del Teorema (esercizi)
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] Osservazioni sull'Applicazione del Teorema
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] da capo partendo dal punto 5 fino ad esaurimento dei Teoremi
[/*:m:1y9rawht]
[*:1y9rawht] da capo partendo dal punto 1 fino ad esaurimento delle Definizioni.[/*:m:1y9rawht][/list:o:1y9rawht]
"smirne":Prova a ragionarci da solo.
Dovrebbe cambiare qualcosa? Perché?
Una delle cose che mi sembrava cambiare era proprio il fatto che il criterio del rapporto poteva iniziare a funzionare (per alcuni casi in cui non funzionava) e mi chiedevo se potesse succedere qualche cosa strana.
In reltà l'idea era proprio ragionare su quanto dici tu,e questo era uno degli esempi.
Posto che l'Esempio di Applicazione va dopo l'Enunciato e la Dimostrazione del Teorema, come ti hanno enunciato il Criterio del Rapporto?
Con il limite? Con le disuguaglianze?
Se non parti da lì, non vai da nessuna parte.
Hai ragione sul fatto che certe volte mi capita di invertire la scaletta, ma posso assicurare che non vado agli esercizi del tutorato finché non ho bene chiero in testa come operare.
Ti ringrazio per la tua risposta, non posso che farne tesoro e imparare da te come altri pilastri di questo forum sperando un giorno di saper un minimo padroneggiare questi concetti che mi sembrano sempre più grandi di me.
Ad ogni modo per rispondere alla tua domanda direi con le disuguaglianze, stamane stavo guardandone la dimostrazione ma devo dire che non mi è del tutto chiara e forse questo dubbio mi aiuterà a ragionarci sopra ulteriormente.
Grazie per la tua risposta
Ti ringrazio per la tua risposta, non posso che farne tesoro e imparare da te come altri pilastri di questo forum sperando un giorno di saper un minimo padroneggiare questi concetti che mi sembrano sempre più grandi di me.
Ad ogni modo per rispondere alla tua domanda direi con le disuguaglianze, stamane stavo guardandone la dimostrazione ma devo dire che non mi è del tutto chiara e forse questo dubbio mi aiuterà a ragionarci sopra ulteriormente.
Grazie per la tua risposta
Non hai risposto alla mia domanda.
Quale enunciato ti hanno fornito?
Scrivilo, altrimenti come posso darti qualche indicazione?
Quale enunciato ti hanno fornito?
Scrivilo, altrimenti come posso darti qualche indicazione?
Grazie per la tua disponibilità gugo, finalmente riesco a scrivere essendo giunto ad un quadro più completo (che non vuol dire per forza corretto, e spero in un tuo aiuto) della situazione.
In particolare ho compreso la dimostrazione del criterio del rapporto che mi permette di arrivare a trovare il raggio di convergenza.
La dimostrazione si gioca tutta su:
$|b_(n+1)|/|b_n||x-x_0|$ ottenuta mettendo in rapporto il successivo con il precedente termine generale della serie.
Passando al suo limite giungiamo ad analizzare proprio $lim_(n->+oo) |b_(n+1)|/|b_n||x-x_0|$ (un primo dubbio è perché tale limite esista sicuramente, infatti a ben pensarci a(n+1) potrebbe avere sempre un segno diverso da a(n) e oscillando all'infinito non garantirebbe l'esistenza del limite -nominiamolo dubbio1-) ammesso esista, sfruttando il criterio del rapporto per le serie è facile capire il perché sia rho pari a 1/l, con l il rapporto del successivo e precedente.
Giungiamo al quesito di apertura (dubbio 2):
In effeti nel limite indicato non vi è informazione del punto di partenza n=c (con c naturale qualsiasi) della serie (d'altra parte stiamo analizzando n a "infinito"), dunque da questo deduciamo che il raggio di convergenza non risente del punto di partenza ma solo di b_n e |x-x_0|. Che la serie sia $\sum_10^(+oo)$ o $\sum_0^(+oo)$ nullaci cambia sul suo raggio di convergenza.
Sarebbe giusta la mia analisi sulla situazione?
Il terzo e ultimo dubbio, se non ho sparato castronerie a destra e a sinistra è: però se il rho non risente del punto di partenza e tanto il limite lo studiamo per n a infinito, allora il criterio del rapporto dovrebe andarci bene anche nel caso in cui la serie partisse da 0 e nel rapporto si abbia un n a denominatore (problema di caracas). Tanto che ci importa dell'inizio, escludiamo zero e via.
In particolare ho compreso la dimostrazione del criterio del rapporto che mi permette di arrivare a trovare il raggio di convergenza.
La dimostrazione si gioca tutta su:
$|b_(n+1)|/|b_n||x-x_0|$ ottenuta mettendo in rapporto il successivo con il precedente termine generale della serie.
Passando al suo limite giungiamo ad analizzare proprio $lim_(n->+oo) |b_(n+1)|/|b_n||x-x_0|$ (un primo dubbio è perché tale limite esista sicuramente, infatti a ben pensarci a(n+1) potrebbe avere sempre un segno diverso da a(n) e oscillando all'infinito non garantirebbe l'esistenza del limite -nominiamolo dubbio1-) ammesso esista, sfruttando il criterio del rapporto per le serie è facile capire il perché sia rho pari a 1/l, con l il rapporto del successivo e precedente.
Giungiamo al quesito di apertura (dubbio 2):
In effeti nel limite indicato non vi è informazione del punto di partenza n=c (con c naturale qualsiasi) della serie (d'altra parte stiamo analizzando n a "infinito"), dunque da questo deduciamo che il raggio di convergenza non risente del punto di partenza ma solo di b_n e |x-x_0|. Che la serie sia $\sum_10^(+oo)$ o $\sum_0^(+oo)$ nullaci cambia sul suo raggio di convergenza.
Sarebbe giusta la mia analisi sulla situazione?
Il terzo e ultimo dubbio, se non ho sparato castronerie a destra e a sinistra è: però se il rho non risente del punto di partenza e tanto il limite lo studiamo per n a infinito, allora il criterio del rapporto dovrebe andarci bene anche nel caso in cui la serie partisse da 0 e nel rapporto si abbia un n a denominatore (problema di caracas). Tanto che ci importa dell'inizio, escludiamo zero e via.
Faccio un piccolo up per l'ultimo post
[ot]Che differenza c'è tra un "piccolo up" e un "grande up"? 
[/ot]
[/ot]
[ot]Beh, la più famosa è la "mezza buca" oppure scomodare Enzo Biagi ...[/ot]
"gugo82":
Non hai risposto alla mia domanda.
Quale enunciato ti hanno fornito?
Scrivilo, altrimenti come posso darti qualche indicazione?
Quando qualcuno ti fa una domanda specifica è buona norma rispondere alla domanda, senza divagare.
[EDIT]
Dopo aver scritto un messaggio inutile, sovrascritto, mi sono accorto che intendevi l'enunciato , ero così presdal dubbio che mi sono buttato sull'interpretazione della dimostrazione.
Dopo aver scritto un messaggio inutile, sovrascritto, mi sono accorto che intendevi l'enunciato , ero così presdal dubbio che mi sono buttato sull'interpretazione della dimostrazione.
sia $\sum_(n>=0) a_n(x-x_0)^n$ la serie di potenze in esame, con coefficienti $a_k$ tutti diversi da zero, allora se esiste
$lim_(n->oo) |(a_(n+1))/a_n|=l$
il raggio è 0 se l=inf
il raggio è inf se l=0
il raggio è 1/l se l è finito
Oh, adesso sì...
Chiaramente, per come ti hanno enunciato il criterio di d’Alembert per il calcolo del raggio di convergenza, non ha alcun senso andare a considerare serie che hanno coefficienti nulli. Tuttavia, non è difficile vedere che, se una serie di potenze $sum_n a_n (x-x_0)^n$ ha (alcuni tra i) primi $N$ coefficienti nulli ed i rimanenti tutti non nulli, l’insieme di convergenza della serie assegnata è uguale all’insieme di convergenza della serie $sum_(n>N) a_n(x-x_0)^n = (x-x_0)^(N+1) sum_n a_(N+n) (x-x_0)^n$, la quale ha tutti i coefficienti non nulli ed alla quale il criterio si applica così come te l’hanno enunciato.
Morale della favola: non importa se alcuni coefficienti di una s.d.p. sono nulli, il criterio funziona ugualmente se tali coefficienti sono tutti $!=0$ da un certo indice in avanti.
Chiaramente, per come ti hanno enunciato il criterio di d’Alembert per il calcolo del raggio di convergenza, non ha alcun senso andare a considerare serie che hanno coefficienti nulli. Tuttavia, non è difficile vedere che, se una serie di potenze $sum_n a_n (x-x_0)^n$ ha (alcuni tra i) primi $N$ coefficienti nulli ed i rimanenti tutti non nulli, l’insieme di convergenza della serie assegnata è uguale all’insieme di convergenza della serie $sum_(n>N) a_n(x-x_0)^n = (x-x_0)^(N+1) sum_n a_(N+n) (x-x_0)^n$, la quale ha tutti i coefficienti non nulli ed alla quale il criterio si applica così come te l’hanno enunciato.
Morale della favola: non importa se alcuni coefficienti di una s.d.p. sono nulli, il criterio funziona ugualmente se tali coefficienti sono tutti $!=0$ da un certo indice in avanti.
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