Domanda derivata direzionale

[sugho]

Ciao,

il prof di fisica nello speigare intuitivament eun passaggio ha fatto un conto che non riesco a rendere formale.

Io so che $nablaf*vecdotx=(partialf)/(partialvecdotx)$ [formula del gradiente]

Però il conto del prof è un altro
Il prof dice si guardi in 1D ho : $(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialt)=(partialf)/(partialt)$

ora il punto è che essendo $x(t)$ posso essere d'accordo che $(partialx)/(partialt)=(dx)/(dt)$

Ora io ricordo da analisi che nella formula del gradiente quando si dimostra si gicoa sul fatto che:
$(partialf)/(partialx)*h=(partialf)/(partialx)v*t$ cè si riscrive l'incremento h come v*t poi si divide tutto per t e si fa il limite per t->0

IN questo caso è come se avessi $h=v*t=(dx)/(dt)*t$:
$(partialf)/(partialx)*h=(partialf)/(partialx)(dx)/(dt)*t$ da cui dividendo per t ho $(partialf)/(partialx)(dx)/(dt)$ che è un termine della mia derivata direzionale data da gradiente*v.
ma il problema è che se io scrivo $(dx)/(dt)$ come derivate parziali: $(dx)/(dt)=(partialx)/(partialt)$ venga poi fuori un bel pasticcio perché appunto mi ritrovo $(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialt)=(partialf)/(partialt)$ che non è più un termine del prodotto gradiente*dx/dt atteso.

Quindi non capisco, e la domanda è: mi sembra lecito poter dire $(dx)/(dt)=(partialx)/(partialt)$ essendo x(t) solo fuzione di t ma poi viene fuori un casino perché $(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialt)=(partialf)/(partialt)$ mi sembra qualcosa di insensato attendendomi invece $(partialf)/(partialx)*v$ un qualcosa del genere.

PS: la dmostrazione della formula del gradiente cui accennavo è

$f(x_0+h,x_0+k)=f(x_0,y_0)+(partialf)/(partialx)h+(partialf)/(partialy)k+o(sqrt(h^2+k^2))$

riscrivere h e k con v1*t e v2*t e dividendo per t e passando al limite:
$(f(x_0+h,x_0+k)-f(x_0,y_0))/t=(partialf)/(partialx)v_1t/t+(partialf)/(partialy)v_2t/t+o(sqrt(h^2+k^2))$ (1) e poi ne prendo il limite e a sx ho la definizione di derivata direzionale

[080e73990d22b9e30ee6fddddc45a902d78283e6]

Non si capisce granche'...

[sugho]

Voglio dire che la formula del gradiente suggerisce $nablaf*vecdotx=(partialf)/(partialdot vecx)$

pero il prof suggerisce di guardare in 1-D e che si avrebbe $(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialt)=(partialf)/(partialt)$

mentre io dalla vormula del gradiente mi atenderei (prendendo 1-D quindi solo la parte in x della formula del gradiente): $(partialf)/(partialx)*v_x$.

[sugho]

Mi è partito il precedente per errore voledo cliccare "anteprima".

Voglio dire che la formula del gradiente suggerisce $nablaf*vecdotx=(partialf)/(partialdot vecx)$ con $vecx=(v_x,v_y,v_z)$

però il prof suggerisce di guardare in 1-D $nablaf*vecdotx$ e che si avrebbe $(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialt)=(partialf)/(partialt)$

mentre io dalla formula del gradiente mi attenderei (prendendo 1-D quindi solo la parte in x della formula del gradiente): $(partialf)/(partialx)*v_x$.

[dissonance]

Secondo me tu e il prof dite fondamentalmente la stessa cosa. Non ti soffermare troppo su questa roba.

La formula del gradiente che dai è giusta. Il resto, specialmente quel discorso di guardare in 1d, sono chiacchiere non rigorose del prof. Questo genere di chiacchiere può aiutare o può confondere; se confonde, lascia perdere e continua.

[sugho]

ciao dissonance grazie per la risposta.

Il fatto che mi interessava capire era più che altro che nelle "chiacchiere" (come giustamente dici) poi mi salta fuori una derivata temporale parziale che onestamente nella formula del grdiente non vedo.
E' un po' questo a incuriosirmi e confondermi, perché non mi sembra rigoroso ma mi ritrovo una derivazione temporale e mi sconquiffera

Non so se puoi aiutamri a capire meglio questo?
grazie per l'aiuto!

[dissonance]

Se riuscissi a dire qual è esattamente la formula che vuoi dimostrare, vediamo come fare. Per il momento non riesco a seguirti bene.

[sugho]

Non mi ero accorto della risposta, il puto per me critico è solo che:

$nablaf*vecdotx$ è la formula del gradiente, in 1-D io la leggerei, dato $vecdotx=(v_x,v_y,v_z)$: $(partialf)/(partialx)*v_x$

E vorrei invece capire come esce quella del prof: "guardare in 1-D $nablaf*vecdotx$ e che si avrebbe $(partialf)/(partialx)(partialx)/(partialt)=(partialf)/(partialt)$".

Semplicmente qui mi blocco, perche gli esce quel df/dt la formula del gradiente dice di moltiplicare scalarmente ogni termine per i $v_i, i in {x,y,z}$

[dissonance]

Vabbé ma sta semplicemente dicendo che in 1d il prodotto scalare si riduce al prodotto. Il gradiente diventa \(\partial f /\partial x\) e il vettore delle velocitá diventa \(\partial x/\partial t\).