Domanda Analisi NON Standard..
Ho visto di cosa si tratta questa benedetta analisi non standard (anche se sono contrario al nome di analisi non standard, perchè l'analisi standard mi sembra più fisica che matematica (vedi le approx. di $dx$ in $0$).. 
) e avrei una domanda da farvi:
Dopo averci calcolato la derivata di $y=x^2$ secondo l'analisi NON standard abbiamo $dy/dx = 2x + dx$ dunque se ci calcoliamo l'integrale di questa derivata dovremmo avere di nuovo $y = x^2$ per forza, in quanto l'operatore integrale è stato definito, IN SEGUITO alla creazione delle derivate, come operatore inverso della derivata dunque integrando abbiamo $intdy = int2xdx + int dx^2 => y = x^2 + int dx^2$, come mi devo comportare con quest'ultimo integrale?
) e avrei una domanda da farvi:Dopo averci calcolato la derivata di $y=x^2$ secondo l'analisi NON standard abbiamo $dy/dx = 2x + dx$ dunque se ci calcoliamo l'integrale di questa derivata dovremmo avere di nuovo $y = x^2$ per forza, in quanto l'operatore integrale è stato definito, IN SEGUITO alla creazione delle derivate, come operatore inverso della derivata dunque integrando abbiamo $intdy = int2xdx + int dx^2 => y = x^2 + int dx^2$, come mi devo comportare con quest'ultimo integrale?
Risposte
forse sbaglio perché sto usando la nozione di integrale standard? vorrei una risposta perché è un dubbio che devo cacciarmi..
$2x + dx$?! 
no, da $dy/dx=2x$ deduci, potendo trattare gli infinitesimi come elementi di un campo numerico, $dy=2x*dx$ e integri membro a membro!
no, da $dy/dx=2x$ deduci, potendo trattare gli infinitesimi come elementi di un campo numerico, $dy=2x*dx$ e integri membro a membro!
guarda che mi sto riferendo ad analisi NON standard
Sì, si ha $(dy)/dx=2x+dx \cong 2x$, definendo $a\congb$ sse $a-b$ è infinitesimo, poi procedi come ha detto zorn.
EDIT: trattandosi dell'analisi non standard, si lavora più con la relazione d'equivalenza $\cong$ come ho definito sopra.
EDIT: trattandosi dell'analisi non standard, si lavora più con la relazione d'equivalenza $\cong$ come ho definito sopra.
ok ma se io voglio sapere il valore esatto, senza il $\cong$, come devo procedere?
nessuno mi può dare una mano?
Da quel poco che so dell'analisi non standard, la derivata di $x^2$ è esattamente $2x$ nel senso che per ottenere la derivata devi prendere solo la parte reale e buttar via letteralmente la parte iperreale.
Quindi poi anche l'integrazione torna.
Quindi poi anche l'integrazione torna.
Hmm credo di essere arrivato ad una soluzione, soluzione che avevo già intuito ieri che però non riuscivo a renderla rigorosa, sempre sperando che sia giusta 
allora abbiamo $y=x^2$ dunque $dy/dx = ((x+dx)^2 - x^2)/dx = 2x + dx$ poniamo $dx = k$ dunque $dy/dx = f'(x) = 2x+k$ con $k in RR"*"$ dunque l'integrale sarà $y = x^2 + kx, k in RR"*"$ vediamo dunque che più aumenta la $x$ più si denota l'errore infinitesimo del secondo termine dunque se vogliamo la parte standard di $x^2+kx$ abbiamo $x^2$ mentre se ricalcoliamo la derivata, stavolta di $x^2+kx$ abbiamo un valore molto interessante:
$dy/dx , y = x^2+kx,k in RR"*" = d/dx(x^2) + kd/dx(x) = 2x+k+k = 2x +2k, k in RR"*"$
stavolta affianco al numero iperreale $k$ abbiamo coefficiente $2$ per l'errore
commesso calcolandoci la derivata e se ripetiamo questa serie di passaggi $n$ volte avremo $2x+ nk, k in RR"*"$
Dunque ora mi affido ad un membro che sia più anziano di me per vedere se effettivamente è giusto il risultato o se posso darmi all'ippica..
allora abbiamo $y=x^2$ dunque $dy/dx = ((x+dx)^2 - x^2)/dx = 2x + dx$ poniamo $dx = k$ dunque $dy/dx = f'(x) = 2x+k$ con $k in RR"*"$ dunque l'integrale sarà $y = x^2 + kx, k in RR"*"$ vediamo dunque che più aumenta la $x$ più si denota l'errore infinitesimo del secondo termine dunque se vogliamo la parte standard di $x^2+kx$ abbiamo $x^2$ mentre se ricalcoliamo la derivata, stavolta di $x^2+kx$ abbiamo un valore molto interessante:
$dy/dx , y = x^2+kx,k in RR"*" = d/dx(x^2) + kd/dx(x) = 2x+k+k = 2x +2k, k in RR"*"$
stavolta affianco al numero iperreale $k$ abbiamo coefficiente $2$ per l'errore
commesso calcolandoci la derivata e se ripetiamo questa serie di passaggi $n$ volte avremo $2x+ nk, k in RR"*"$
Dunque ora mi affido ad un membro che sia più anziano di me per vedere se effettivamente è giusto il risultato o se posso darmi all'ippica..
No, no, hai davvero talento se hai solo 17 anni! auguri x un brillante futuro da matematico!
Anche se $k$ non è costante perché $d/dx k = d/dx dx = (d(x+dx)-dx)/dx = d^2x/dx$
da cui verrebbe $y=x^2+x*dx, dy/dx=2x+dx+d^2x/dx*x$ e la quantità $ d^2x/dx*x$ si comporta come?
Anche se $k$ non è costante perché $d/dx k = d/dx dx = (d(x+dx)-dx)/dx = d^2x/dx$
da cui verrebbe $y=x^2+x*dx, dy/dx=2x+dx+d^2x/dx*x$ e la quantità $ d^2x/dx*x$ si comporta come?
"zorn":
da cui verrebbe $y=x^2+x*dx, dy/dx=2x+dx+d^2x/dx*x$ e la quantità $ d^2x/dx*x$ si comporta come?
non vorrei essere impertinente ma $d/dx (x^2+x*dx) = d/dx (x^2) + d/dx(x*dx) = (2x+dx) + dx = 2x + 2dx$
scusate se sono rompiscatole, ma voglio capire dove sta il mio errore..
Non la capisco l'uguaglianza $d/dx(x*dx)=dx$ me la spieghi?
$d(x*dx)/dx = dx*dx/dx = dx$
E non applichi una regola analoga alla derivazione di un prodotto di funzioni? Derivando $dx$ non si ottiene $d^2 x$?
sono un coglione, perdonami..
d'ora in poi mi darò all'ippica..
d'ora in poi mi darò all'ippica..
Mi sembrava troppo strano praticamente trattavi $dx$ come costante... non puoi fartele tu le regole nel gioco della matematica...
cmq cercando di interpretare con quello che mi rimane delle mie capacità cognitive (specie a quest'ora.. ) ho dedotto, o meglio spero di dedurre, che $int (dx)^2$ (il $dx$ l'ho messo in parentesi cosi addio alle confusioni 
) significa che l'asse $x$ non viene considerato come unidimensionale ma bidimensionale... eeeh...
mah forse è meglio che vado a dormire e che aspetto a domani per delucidazioni da uno più competente di me in materia..
'notte!
) ho dedotto, o meglio spero di dedurre, che $int (dx)^2$ (il $dx$ l'ho messo in parentesi cosi addio alle confusioni ) significa che l'asse $x$ non viene considerato come unidimensionale ma bidimensionale... eeeh...mah forse è meglio che vado a dormire e che aspetto a domani per delucidazioni da uno più competente di me in materia..
'notte!
mi sapete dire quanto fa $intdx^2$? 
Chi avrebbe detto che mi sarei risposto da solo?
Il problema è che voglio divulgare la mia soluzione per eventuali controlli (anche se a dir la verità questa volta ne sono abbastanza sicuro..)
Utilizziamo la definizione euristica di integrale:
$int (dx)^2 = lim_{n->+oo}sum_{i=1}^{n}f(x_i)(b-a)/n$ con $(b-a)/n = Deltax$
essendo $f(x_i) = dx = lim_{n->+oo} (b-a)/n, AAi in NN$ abbiamo $int (dx)^2 = lim_{n->+oo}sum_{i=1}^{n}(b-a)/n(b-a)/n =sum_{i=1}^{n}((b-a)/n)^2 = lim_{n->+oo}n*(b-a)^2/n^2 = lim_{n->+oo}(b-a)^2/n = lim_{n->+oo}(b-a)(b-a)/n = (b-a)*dx$ ma tale integrale è indefinito dunque $(b-a) = x$ dunque $int (dx)^2 =xdx$
ora sarebbe interessante provare la seguente cosa: se definiamo un tipo di derivata non standard, $ccD(f(x),x) = lim_{Deltax->0}\frac{f(x+Deltax)-f(x)}{Deltax}$ vale il teorema del calcolo integrale con questo tipo di derivata non standard?
Il problema è che voglio divulgare la mia soluzione per eventuali controlli (anche se a dir la verità questa volta ne sono abbastanza sicuro..)
Utilizziamo la definizione euristica di integrale:
$int (dx)^2 = lim_{n->+oo}sum_{i=1}^{n}f(x_i)(b-a)/n$ con $(b-a)/n = Deltax$
essendo $f(x_i) = dx = lim_{n->+oo} (b-a)/n, AAi in NN$ abbiamo $int (dx)^2 = lim_{n->+oo}sum_{i=1}^{n}(b-a)/n(b-a)/n =sum_{i=1}^{n}((b-a)/n)^2 = lim_{n->+oo}n*(b-a)^2/n^2 = lim_{n->+oo}(b-a)^2/n = lim_{n->+oo}(b-a)(b-a)/n = (b-a)*dx$ ma tale integrale è indefinito dunque $(b-a) = x$ dunque $int (dx)^2 =xdx$
ora sarebbe interessante provare la seguente cosa: se definiamo un tipo di derivata non standard, $ccD(f(x),x) = lim_{Deltax->0}\frac{f(x+Deltax)-f(x)}{Deltax}$ vale il teorema del calcolo integrale con questo tipo di derivata non standard?
ho scritto una boiata così grande che non volete rispondermi per non abbatermi troppo?
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