Domanda Analisi NON Standard..

[Mega-X]

Ho visto di cosa si tratta questa benedetta analisi non standard (anche se sono contrario al nome di analisi non standard, perchè l'analisi standard mi sembra più fisica che matematica (vedi le approx. di $dx$ in $0$).. ) e avrei una domanda da farvi:

Dopo averci calcolato la derivata di $y=x^2$ secondo l'analisi NON standard abbiamo $dy/dx = 2x + dx$ dunque se ci calcoliamo l'integrale di questa derivata dovremmo avere di nuovo $y = x^2$ per forza, in quanto l'operatore integrale è stato definito, IN SEGUITO alla creazione delle derivate, come operatore inverso della derivata dunque integrando abbiamo $intdy = int2xdx + int dx^2 => y = x^2 + int dx^2$, come mi devo comportare con quest'ultimo integrale?

[zorn1]

"Mega-X":Chi avrebbe detto che mi sarei risposto da solo?
Il problema è che voglio divulgare la mia soluzione per eventuali controlli (anche se a dir la verità questa volta ne sono abbastanza sicuro..)

Utilizziamo la definizione euristica di integrale:
$int (dx)^2 = lim_{n->+oo}sum_{i=1}^{n}f(x_i)(b-a)/n$ con $(b-a)/n = Deltax$

essendo $f(x_i) = dx = lim_{n->+oo} (b-a)/n, AAi in NN$ abbiamo $int (dx)^2 = lim_{n->+oo}sum_{i=1}^{n}(b-a)/n(b-a)/n =sum_{i=1}^{n}((b-a)/n)^2 = lim_{n->+oo}n*(b-a)^2/n^2 = lim_{n->+oo}(b-a)^2/n = lim_{n->+oo}(b-a)(b-a)/n = (b-a)*dx$ ma tale integrale è indefinito dunque $(b-a) = x$ dunque $int (dx)^2 =xdx$

ora sarebbe interessante provare la seguente cosa: se definiamo un tipo di derivata non standard, $ccD(f(x),x) = lim_{Deltax->0}\frac{f(x+Deltax)-f(x)}{Deltax}$ vale il teorema del calcolo integrale con questo tipo di derivata non standard?

Che ha di non standard questa derivata? Comunque il teorema fondamentale del calcolo integrale valeva a meno di infinitesimi di ordine superiore al primo, che era già un buon risultato...

[Mega-X]

"zorn":Che ha di non standard questa derivata?

una derivata standard è definita come $\frac{df(x)}{dx} = st(\lim_{Deltax->0}\frac{f(x+Deltax) - f(x)}{Deltax})$ quindi presuppongo che una derivata non standard sia la stessa cosa senza la funzione $st(*)$ che restituisce la parte reale (o standard) di un numero iperreale