Divergenza serie armonica (integrali)

[Danielecker]

Salve a tutti, non riesco davvero a trovare da nessuna parte la dimostrazione della divergenza della serie armonica mediante integrali definiti della funzione 1/x. Purtroppo il professore vuole questa dimostrazione all'esame e quindi spero in un vostro aiuto Grazie mille

[gugo82]

Prova a costrurla da solo.

In particolare, tieni presente che per ogni \(n\) hai:
\[
\frac{1}{n}\geq \frac{1}{x} \quad \text{, per } n\leq x\leq n+1\; ,
\]
cosicché:
\[
\begin{split}
\frac{1}{n} &= \frac{1}{n}\cdot 1 \\
&= \int_{n}^{n+1} \frac{1}{n}\ \text{d} x\\
&\geq \int_{n}^{n+1} \frac{1}{x}\ \text{d} x\; ,
\end{split}
\]
ed usa questa informazione per minorare la successione delle somme parziali della serie armonica con un integrale improprio divergente.

[Danielecker]

Grazie per la dritta. Allora ci ho provato vediamo se è corretto: ho posto dunque che

$ int_(k)^(k+1) 1/x dx <= int_(k)^(k+1) 1/k dx = 1/k $

Questo $ AA k in N $

Sommando a destra e sinistra si ha :

$ sum_(k = 1)^n int_(k)^(k+1) 1/x dx <= sum_(k = 1)^n 1/k= Sn $

E dunque:

$ int_(1)^(n+1) 1/x dx <= Sn $

Da cui:

$ log(n+1)<=Sn $

Dunque, dal momento che $ log(n+1)-> oo $ , anche $ Sn-> oo $

E' corretto ?

[gugo82]

Yes.

Praticamente, stai usando il cosiddetto criterio dell'integrale. Prova a cercarlo sul tuo libro di testo.

[Danielecker]

Ti ringrazio, non capisco ancora però una cosa: perchè. dal punto di vista integrale, la funzione y=1/x (che è un'iperbole equilatera), dovrebbe essere minore della Sn della serie ?