Disuguaglianza x<tan x

[Vitorusso1]

Salve a tutti, qualcuno saprebbe illustrarmi una dimostrazione completa del perché per 0 Ho provato a dimostrare che ogni approssimazione per difetto della curva mediante un poligono è minore della tangente, senza riuscirci.Sarei molto gentile se qualcuno di voi sapesse illustrarmi una dimostrazione completa. Credo che Anche la dimostrazione mediante l’uso delle derivate non sia lecita se prima non viene dimostrata tale disuguaglianza.
Grazie a tutti in anticipo

[gabriella127]

Perché pensi che la dimostrazione con le derivate non sia lecità?

[pilloeffe]

Ciao Vitorusso,

Graficamente si vede abbastanza bene.
In alternativa si può usare ad esempio lo sviluppo in serie della tangente:

$ tan x = x + x^3/3 + 2/15 x^5 + o(x^6) $

valido per $|x| < \pi/2 $. Dunque per $0 < x < \pi/2 $ si ha:

$tan x - x = x^3/3 + 2/15 x^5 + o(x^6) > 0 \implies x < tanx $ per $0 < x < \pi/2 $

[Vitorusso1]

I problemi di tali dimostrazioni è che utilizzano la derivata delle funzioni goniometriche, che viene calcolata utilizzando il limite notevole sinx/x,la dimostrazione di tale limite viene eseguita col teorema del confronto e sfruttando x

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[gabriella127]

Sulle derivate hai ragione.
Io l'unica dimostrazione che ho visto è grafica, ad esempio su Marcellini Sbordone, basata sulla figura:


.

Ci stava un thread qui sul Forum, ma non aggiunge altro:

https://www.matematicamente.it/forum/di ... 75154.html

[gabriella127]

Però si può fare dalla disuguaglianza $cosx <(sin x)/x<1$, per $0<|x|<=pi/2$,

che si dimostra geometricamente con i triangoli simili in una figura come quella precedente.

[dissonance]

"pilloeffe":

$tan x - x = x^3/3 + 2/15 x^5 + o(x^6) > 0 \implies x < tanx $ per $0 < x < \pi/2 $

Eh no, questo dimostra solo che \(\tan x -x >0\) in un intorno destro di \(x=0\). Per arrivare a coprire tutto l'intervallo \((0, \pi/2)\) bisogna dimostrare che tutti i coefficienti di Taylor sono positivi, non ti puoi fermare ai primi due.

[pilloeffe]

Ciao dissonance,

"dissonance":[...] bisogna dimostrare che tutti i coefficienti di Taylor sono positivi [...]

Beh, è vero, ho omesso di dimostrarlo, però è proprio così: tutti i termini dello sviluppo in serie sono positivi per $0 < x < \pi/2 $, quindi in effetti $ tan x - x > 0 $ in tutto l'intervallo $ (0, \pi/2) $

[Mephlip]

[ot]Non basta la derivata terza di $\text{tan}$ positiva (visto che la seconda è nulla per disparità di $\text{tan}$) usando Taylor centrato in $x_0=0$ con resto di Lagrange? Dato che $\frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3} \tan(x)>0$, per $c \in \left(0,\frac{\pi}{2}\right)$:
$$\tan x - x=\left[\frac{\text{d}^3}{\text{d}x^3} \tan(x)\right]_{x=c}x^3>0$$
O forse @dissonance ti riferivi ad una dimostrazione usando il resto di Peano? In effetti, col resto di Peano non si conoscono i coefficienti delle potenze $x^n$ e dunque non si può dedurre a priori il loro segno nonostante sia $0

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[dissonance]

@mephlip: si, ma io sto dicendo un fatto molto più banale. Dalla sola conoscenza di un numero finito di coefficienti di Taylor si possono solo trarre conclusioni locali.

Tu qui stai facendo leva sul fatto che quella derivata terza è positiva in un intervallo fissato a priori. Questo è un ragionamento globale, ecco perché funziona.