Disuguaglianza per induzione

[miuemia]

vorrei provare che se $a>b>0$ allora per ogni $n>=1$ $a^{n}-b^{n}<= (a+b)^{n-1}(a-b)$.
il caso $n=1$ è ovvio.
il passo induttivo:

$(a+b)^{n}(a-b)>(a^{n}+b^{n})(a-b)$ dove ho utilizzato il binomio di Newton ma poi non riesco ad andare avanti ed ottenere la stima che voglio.
forse è sbagliato il procedimeno?

[Sk_Anonymous]

Sarà l'ora un po' tarda, ma non mi sono chiari i passaggi che hai fatto.
Perché, per esempio, \(\displaystyle a^{n+1} - b^{n+1} \) è diventato \(\displaystyle (a^{n} +b ^{n})(a-b)=a^{n+1} - ba^{n} + ab^{n} - b^{n+1} \)?

[miuemia]

visto che devo dimostrare $a^{n+1}-b^{n+1}<= (a+b)^{n}(a-b)$
ho preso in considerazione il secondo membro e stavo cercando di minorarlo.

[Sk_Anonymous]

E come dimostri che \(\displaystyle ab^{n} - ba^{n}>0 \) (che a naso non mi pare vero)?

[miuemia]

il problema è esattamente questo!!!!

[Sk_Anonymous]

Il problema non può essere questo, perché quella disuguaglianza è falsa a priori. Basta prendere \(\displaystyle 5>3>0 \) e \(\displaystyle n=8 \) per accorgersi che \(\displaystyle 5\cdot3^{8} - 3 \cdot 5^{8} <0 \).
Il problema è che così non puoi minorare.

[miuemia]

ah bene!!! quindi sul libro c'è un errore!!

[Sk_Anonymous]

Mi stai prendendo in giro o dici sul serio?

[miuemia]

no assolutamente. se è falsa visto che mi hai mostrato un contro esempio. sbaglio? scusa ma ho la testa fusa perchè studio da stamattina

[Sk_Anonymous]

Allora no problem. Come ben saprai, in matematica è sufficiente un controesempio per invalidare una relazione.

Tornando a monte, ti ricordo che \[\displaystyle a^{n} - b^{n} = (a - b) \sum_{k=0}^{n-1} a^{n-k-1} b^{k} \]
Ora sono stanco pure io e non ho voglia di fare i conti, ma credo che in qualche modo l'uguaglianza qui sopra ti possa tornare utile.

[miuemia]

ti ringrazio per questa formula... era quella che mi serviva. grazie