Disuguaglianza con valore assoluto

[zio_mangrovia]

Tra gli appunti di analisi trovo la seguente disuguaglianza da dimostrare e
cortesemente avrei bisogno di una mano:

$| |x|-|y| |<=|x+y|$

$ -|x+y|<=|x|-|y|<=|x+y|$
fin qua ok, in quanto dato derivato da: $|x|<=r$ $rArr$ $-r<=x<=r$
ma non capisco questi due ulteriori passaggi:
$|x|=|x+y-y|<=|x+y|+|y| rArr |x|-|y|<=|x+y|$
$|y|=|y+x-x|<=|x+y|+|x| rArr |y|-|x|<=|x+y|$

Se prendiamo in esame la prima riga tra le due sopra elencate, questo passaggio è ovvio : $|x|=|x+y-y|$
ma mi chiedo se il termine $-|y|$ sia stato spostato a destra del $<=$ per effettuare il passaggio seguente:
$|x|-|y|<=|x+y|$ a $|x|<=|x+y|+|y|$
ma allora perché è stato calcolato questo valore $|x|=|x+y-y|$ !?!

grazie

[axpgn]

Forse è più chiaro se poni $x+y=a$ ...

$ |x|=|x+y-y|=|a-y|<=|a|+|y|\ =>\ |x|-|y|<=|a| $

$ |y|=|y+x-x|=|a-x|<=|a|+|x|\ =>\ |y|-|x|<=|a| \ =>\ -|a|<=|x|-|y|$

da cui

$-|a|<=|x|-|y|<=|a|\ =>\ -|x+y|<=|x|-|y|<=|x+y|\ =>\ ||x|-|y||<=|x+y|$

Cordialmente, Alex

[zio_mangrovia]

Sono chiari tutti i passaggi ad esclusione del primo che avevo citato e cioè non capiscocome si costruisce questa espressione:
$|x|−|y|<=|x+y| rArr |x|<=|x+y|+|y|$

spostando il termine $|y|$ dalla parte opposta ?
stessa cosa per la seguente:

$|x|−|y|<=|x+y| rArr |y|<=|x+y|+|x|$

ma se spostassi il $!x!$ cambierebbe di segno mentre invece a destra $<=$ lo vedo sempre positivo

[axpgn]

Il primo è giusto, il secondo è sbagliato ... sono normali disequazioni, non ci vedo grossi problemi ... se sposti un elemento da sinistra a destra (o viceversa) gli cambi di segno ...

Prova a rileggere quello che ho scritto perché mi viene il dubbio che non ti sia tutto chiaro ...

[zio_mangrovia]

Ho ripensato e ripensato, secondo voi sono sbagliate le mie deduzioni.
Mi sono limitato al primo passaggio ma mi è sufficiente per capire tutto il resto.

Parto da $|x|=|x+y-y|=|x+y+(-y)|$

basandomi sulla disuguaglianza triangolare posso affermare che
$|x+y+(-y)|<=|x+y|+|-y|$ e poiché $|-y|=|y|$
$|x+y-y|<=|x+y|+|y| rarr |x|-|y|<=|x+y|$

Corretto?
Spero di essere in fondo a questa lunga storia.

[axpgn]

Sì, mi pare corretto ...