Disuguaglianza con numeri complessi
Ciao a tutti.
Ho iniziato un corso di analisi complessa e ho cominciato a fare qualche esercizio di base con i numeri complessi.
Un esercizio del Lang mi chiede di verificare che se $ |w|,|z|<1 $ con $w$ e $z$ numeri complessi, allora
$ |\frac{z-w}{1-bar(z)w }|<1 $.
Come suggerimento mi dà di ricondurmi al caso in cui $z=r$ sia reale e considerare la disuguaglianza
$(r-w)(r-\bar{w})<(1-rw)(1-\bar{rw})$.
La seconda disuguaglianza si ottiene dalla prima spezzando il modulo della frazione, moltiplicando per il denominatore e elevando al quadrato.
A questo punto, svolgendo i conti, si ottiene il risultato.
La mia domanda è questa: ricondursi al caso reale è necessario?
Ho provato a fare i conti con $z$ complesso e mi sembra che funzioni tutto esattamente allo stesso modo.
Grazie.
Andrea
Ho iniziato un corso di analisi complessa e ho cominciato a fare qualche esercizio di base con i numeri complessi.
Un esercizio del Lang mi chiede di verificare che se $ |w|,|z|<1 $ con $w$ e $z$ numeri complessi, allora
$ |\frac{z-w}{1-bar(z)w }|<1 $.
Come suggerimento mi dà di ricondurmi al caso in cui $z=r$ sia reale e considerare la disuguaglianza
$(r-w)(r-\bar{w})<(1-rw)(1-\bar{rw})$.
La seconda disuguaglianza si ottiene dalla prima spezzando il modulo della frazione, moltiplicando per il denominatore e elevando al quadrato.
A questo punto, svolgendo i conti, si ottiene il risultato.
La mia domanda è questa: ricondursi al caso reale è necessario?
Ho provato a fare i conti con $z$ complesso e mi sembra che funzioni tutto esattamente allo stesso modo.
Grazie.
Andrea
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