Disuguaglianza con l'induzione
Vorrei dimostrare che vale
$n!>\frac{n^n}{e^n}$
per induzione. Lasciamo stare il banale caso n=1. Passiamo al passo induttivo.
$(n+1)! = n!(n+1)> \(\frac{n}{e} \)^n(n+1)$.
Pensavo di usare $e = i n f \(1+\frac{1}{n} \)^{n+1}$, e quindi minorare la successione con
$\(\frac{n}{ \[1+\frac{1}{n}\]^{n+1}\)^n (n+1)$.
Alla fine riesco a ottenere $\frac{n^n(n+1)}{e^{n+1}}$ e già ho straripato: infatti al numeratore dovrei ottenere $(n+1)^{n+1}$, che è sicuramente maggiore (e non minore) di $n^n(n+1)$, come ho verificato col binomio di newton...
Come fare?
$n!>\frac{n^n}{e^n}$
per induzione. Lasciamo stare il banale caso n=1. Passiamo al passo induttivo.
$(n+1)! = n!(n+1)> \(\frac{n}{e} \)^n(n+1)$.
Pensavo di usare $e = i n f \(1+\frac{1}{n} \)^{n+1}$, e quindi minorare la successione con
$\(\frac{n}{ \[1+\frac{1}{n}\]^{n+1}\)^n (n+1)$.
Alla fine riesco a ottenere $\frac{n^n(n+1)}{e^{n+1}}$ e già ho straripato: infatti al numeratore dovrei ottenere $(n+1)^{n+1}$, che è sicuramente maggiore (e non minore) di $n^n(n+1)$, come ho verificato col binomio di newton...
Come fare?
Risposte
up
Ma non è più semplice notare che:
\[
\ln n! = \sum_{k=2}^n \ln k > \sum_{k=2}^n \int_{k-1}^k \ln x\ \text{d} x = \int_1^n \ln x\ \text{d} x
\]
quindi...
\[
\ln n! = \sum_{k=2}^n \ln k > \sum_{k=2}^n \int_{k-1}^k \ln x\ \text{d} x = \int_1^n \ln x\ \text{d} x
\]
quindi...
non abbiamo fatto ancora gli integrali...
La traccia di quell''esercizio dice di usare l'induzione e il fatto che $e=\max (1+1/n)^n$ o/e che $e=min(1+1/n)^{n+1}$...come si potrebbe fare?
E' scorretto scrivere max, devi usare sup perché $e$ non è un termine della successione.
La questione è semplice comunque:
$e=$sup$ ((n+1)/n)^n$ (ho fatto un denominatore comune) allora $n^n e > (n+1)^n$.
Allora
$n!(n+1)> (n+1) (n^n)/(e^n)=(n+1)/(e^{n+1}) e n^n> (n+1)/(e^{n+1}) (n+1)^n$
Paola
La questione è semplice comunque:
$e=$sup$ ((n+1)/n)^n$ (ho fatto un denominatore comune) allora $n^n e > (n+1)^n$.
Allora
$n!(n+1)> (n+1) (n^n)/(e^n)=(n+1)/(e^{n+1}) e n^n> (n+1)/(e^{n+1}) (n+1)^n$
Paola
Rotolo dalle risate! Grazie comunque...se solo ripenso alle pagine, pagine, pagine...a sostituire con $(1+1/n)^n$ di là e $(1+1/n)^(n+1)$ di qua...! 
Capita . Le cose che sembrano semplici sono le peggiori, perché ci si impanica sempre di più ed è difficile trovare un punto di vista diverso per completarle!
Ciao
Paola
. Le cose che sembrano semplici sono le peggiori, perché ci si impanica sempre di più ed è difficile trovare un punto di vista diverso per completarle!Ciao
Paola
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