Disuguaglianza
Avete idea di come posso giungere a dimostrare che, perlomeno definitivamente
$\frac{x^\alpha}{(1+2\arctan(x))^x+(1+\arctan(2x))^x} < 1/x^2$, per ogni $\alpha$? le ho provate tutte...
$\frac{x^\alpha}{(1+2\arctan(x))^x+(1+\arctan(2x))^x} < 1/x^2$, per ogni $\alpha$? le ho provate tutte...
Risposte
Qual è il problema originario?
il problema originario è discutere se converge
$\int_1^{+\infty} \frac{x^\alpha}{(1+2\arctan(x))^x-(1+\arctan(2x))^x}$
hoo visto con geogebra che l'integrando è sempre minore, per lo meno definitivamente, di 1/x^2...da lì il confronto sarebbe facile
$\int_1^{+\infty} \frac{x^\alpha}{(1+2\arctan(x))^x-(1+\arctan(2x))^x}$
hoo visto con geogebra che l'integrando è sempre minore, per lo meno definitivamente, di 1/x^2...da lì il confronto sarebbe facile
Detto in maniera molto rozza, per \(x\to +\infty\) hai:
\[
1+2\arctan x \approx \pi +1 \qquad \text{e}\qquad 1+\arctan (2x) \approx \frac{\pi}{2} +1
\]
e, se non erro, si dimostra facilmente che:
\[
(1+2\arctan x)^x \approx (\pi +1)^x \qquad \text{e}\qquad (1+\arctan (2x))^x \approx (\frac{\pi}{2} +1)^x\; ;
\]
ciò importa che il tuo denominatore si comporta asintoticamente come \((\pi +1)^x\), ossia è un infinito d'ordine esponenziale e perciò il tuo integrando è uno zero per \(x\to +\infty\) d'ordine infinitamente elevato.
\[
1+2\arctan x \approx \pi +1 \qquad \text{e}\qquad 1+\arctan (2x) \approx \frac{\pi}{2} +1
\]
e, se non erro, si dimostra facilmente che:
\[
(1+2\arctan x)^x \approx (\pi +1)^x \qquad \text{e}\qquad (1+\arctan (2x))^x \approx (\frac{\pi}{2} +1)^x\; ;
\]
ciò importa che il tuo denominatore si comporta asintoticamente come \((\pi +1)^x\), ossia è un infinito d'ordine esponenziale e perciò il tuo integrando è uno zero per \(x\to +\infty\) d'ordine infinitamente elevato.
beh ma questo non dimostra che l'integrale improprio esiste finito... $\int_0^1 1/x$ ha l'integrando tendente a 0 ma diverge
Leggi bene.
ma non posso esprimere delle maggiorazioni succcessive fino ad arrivare a $1/x^2$?
up
up
Si potrebbe pure fare, ma è troppo laborioso e non ti serve a nulla nell'economia dell'esercizio.
Allora nn ho capito bene il tuo metodo di risoluzione. cosa intendi con "ordine infinitamente elevato" in un esame non posso scrivere "è circa uguale"....è un integrale improprio, o lo maggioro con qualcosa che converge o per lo meno cerco di trovare per quali alfa posso confrontare la mia funzione con $1/x^\alpha$...
Si dice che \(f(x)\) è un infinitesimo d'ordine infinitamente elevato (rispetto a \(|x-x_0|\)) per \(x\to x_0\) (con \(x_0\in \mathbb{R}\)) se risulta:
\[
\tag{1} \lim_{x\to x_0} \frac{|f(x)|}{|x-x_0|^p} =0
\]
per ogni \(p\geq 0\); se invece \(x_0=\pm \infty\), la stessa locuzione (ma rispetto a \(1/|x|\)) si adopera per dire che:
\[
\tag{2} \lim_{x\to x_0} |x|^p\ f(x) = 0
\]
per ogni \(p\geq 0\).
In particolare, la (2) vale nel tuo caso con \(p=\alpha +2\); pertanto hai (per definizione di limite con \(\varepsilon =1\)):
\[
\frac{x^{\alpha +2}}{(1+2\arctan x)^x -(1+\arctan (2x))^x} \leq 1
\]
per tutti gli \(x\) sufficientemente grandi, ergo la maggiorazione che ti serve segue immediatamente.
\[
\tag{1} \lim_{x\to x_0} \frac{|f(x)|}{|x-x_0|^p} =0
\]
per ogni \(p\geq 0\); se invece \(x_0=\pm \infty\), la stessa locuzione (ma rispetto a \(1/|x|\)) si adopera per dire che:
\[
\tag{2} \lim_{x\to x_0} |x|^p\ f(x) = 0
\]
per ogni \(p\geq 0\).
In particolare, la (2) vale nel tuo caso con \(p=\alpha +2\); pertanto hai (per definizione di limite con \(\varepsilon =1\)):
\[
\frac{x^{\alpha +2}}{(1+2\arctan x)^x -(1+\arctan (2x))^x} \leq 1
\]
per tutti gli \(x\) sufficientemente grandi, ergo la maggiorazione che ti serve segue immediatamente.
ma per applicare il teorema del confronto asintotico il limite dovrebbe essare un numero finito diverso da 0...
Ma anche no.
ma è nei miei appunti!...
siano f(x),g(x) continue in un certo intervallo [a,b] $\in\bar\mathbb R$. se $f(x)/g(x)\to l\in\mathbb R-{0}$, allora $\int_a^b f(x)dx e \int_a^b g(x) dx$ hanno lo stesso comportamento...ma la costante deve essere rigorosamente NON nulla...in svariati esempi svolti quando si confrontava con la serie armonica, si prende effettivamente per cui il valore del limite del quoziente è finito...
siano f(x),g(x) continue in un certo intervallo [a,b] $\in\bar\mathbb R$. se $f(x)/g(x)\to l\in\mathbb R-{0}$, allora $\int_a^b f(x)dx e \int_a^b g(x) dx$ hanno lo stesso comportamento...ma la costante deve essere rigorosamente NON nulla...in svariati esempi svolti quando si confrontava con la serie armonica, si prende effettivamente per cui il valore del limite del quoziente è finito...
E vediamo un po'...
Supponiamo che \(f,g:[a,\infty[\to \mathbb{R}\) siano due funzioni tali che \(g(x)\neq 0\) definitivamente intorno a \(+\infty\) e:
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|}=0\; .
\]
Se \(g\) è sommabile intorno a \(+\infty\), cioè tale che \(\int_M^\infty |g(x)|\ \text{d}x <+\infty\) per \(M\geq a\) abbastanza grande, allora anche \(f\) è sommabile intorno a \(+\infty\).
Dim.:
Per definizione di limite, in corrispondenza di \(\varepsilon =1\) esiste un \(\delta >0\) tale che:
\[
\frac{|f(x)|}{|g(x)|} \leq 1 \qquad \Leftrightarrow \qquad |f(x)|\leq |g(x)|
\]
per \(x\geq \delta\); posto allora \(M^\prime =\max \{\delta ,M\}\), per ogni \(r>M^\prime\) si ha:
\[
\int_{M^\prime}^r |f(x)|\ \text{d} x \leq \int_{M^\prime}^r |g(x)|\ \text{d}x \leq \int_{M^\prime}^\infty |g(x)|\ \text{d} x
\]
pertanto, passando il primo membro al limite per \(r\to \infty\) si trova:
\[
\int_{M^\prime}^\infty |f(x)|\ \text{d} x \leq \int_{M^\prime}^\infty |g(x)|\ \text{d}x <+\infty
\]
che è la tesi.
Quindi c'è qualcosa che non va nei tuoi appunti.
D'altra parte, questo risultato è del tutto ovvio; se la funzione a numeratore va a zero più velocemente di quella a denominatore, ciò vuol dire che il rettangoloide relativo al numeratore sta definitivamente dentro a quello relativo al denominatore; pertanto l'area del primo non può essere maggiore dell'area del secondo, quando quest'ultima è finita.
Supponiamo che \(f,g:[a,\infty[\to \mathbb{R}\) siano due funzioni tali che \(g(x)\neq 0\) definitivamente intorno a \(+\infty\) e:
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|}=0\; .
\]
Se \(g\) è sommabile intorno a \(+\infty\), cioè tale che \(\int_M^\infty |g(x)|\ \text{d}x <+\infty\) per \(M\geq a\) abbastanza grande, allora anche \(f\) è sommabile intorno a \(+\infty\).
Dim.:
Per definizione di limite, in corrispondenza di \(\varepsilon =1\) esiste un \(\delta >0\) tale che:
\[
\frac{|f(x)|}{|g(x)|} \leq 1 \qquad \Leftrightarrow \qquad |f(x)|\leq |g(x)|
\]
per \(x\geq \delta\); posto allora \(M^\prime =\max \{\delta ,M\}\), per ogni \(r>M^\prime\) si ha:
\[
\int_{M^\prime}^r |f(x)|\ \text{d} x \leq \int_{M^\prime}^r |g(x)|\ \text{d}x \leq \int_{M^\prime}^\infty |g(x)|\ \text{d} x
\]
pertanto, passando il primo membro al limite per \(r\to \infty\) si trova:
\[
\int_{M^\prime}^\infty |f(x)|\ \text{d} x \leq \int_{M^\prime}^\infty |g(x)|\ \text{d}x <+\infty
\]
che è la tesi.
Quindi c'è qualcosa che non va nei tuoi appunti.
D'altra parte, questo risultato è del tutto ovvio; se la funzione a numeratore va a zero più velocemente di quella a denominatore, ciò vuol dire che il rettangoloide relativo al numeratore sta definitivamente dentro a quello relativo al denominatore; pertanto l'area del primo non può essere maggiore dell'area del secondo, quando quest'ultima è finita.
la tua dimostrazione è abbastanza chiara, ma ora nella mia infinita disperazione vorrei sistemare i miei appunti...cito DI PRECISO cosa c'è scritto
CRITERIO DEL LIMITE.
Siano f,g funzioni continue definite su ]a,b[ intervallo reale, con f(x),g(x) diversi da 0 per ogni x. Se
$\lim_{x\in a^+} f(x)/(g(x))=l\in\mathbb R\{0}$ allora
$f$ integrabile in senso improprio SE E SOLO SE $g$ è integrabile in senso improprio.
P.S. a ben rileggere questo criterio non mi dice nulla per $a=+\infty$, in quanto si può andare verso "infinito" solo da sinistra...(non è definito un "intorno destro" di infinito!).
Questo criterio, per come l'ho scritto, è giusto? Se si, per $a=+\infty$ esiste qualcosa di simile (se non è applicabile questo)?
CRITERIO DEL LIMITE.
Siano f,g funzioni continue definite su ]a,b[ intervallo reale, con f(x),g(x) diversi da 0 per ogni x. Se
$\lim_{x\in a^+} f(x)/(g(x))=l\in\mathbb R\{0}$ allora
$f$ integrabile in senso improprio SE E SOLO SE $g$ è integrabile in senso improprio.
P.S. a ben rileggere questo criterio non mi dice nulla per $a=+\infty$, in quanto si può andare verso "infinito" solo da sinistra...(non è definito un "intorno destro" di infinito!).
Questo criterio, per come l'ho scritto, è giusto? Se si, per $a=+\infty$ esiste qualcosa di simile (se non è applicabile questo)?
Il fatto che \(a=+\infty\) non mette e non leva nulla di sostanziale; il punto è un altro.
La conclusione cui vuoi giungere (che è una condizione necessaria e sufficiente, un "se e solo se") è molto forte, quindi è del tutto normale che tu abbia ipotesi forti.
Il criterio che ho dimostrato io fornisce solo una condizione sufficiente all'integrabilità di \(f\) (condizione che si guarda bene dall'essere pure necessaria), quindi l'ipotesi fatta sul limite può essere rilassata.
La conclusione cui vuoi giungere (che è una condizione necessaria e sufficiente, un "se e solo se") è molto forte, quindi è del tutto normale che tu abbia ipotesi forti.
Il criterio che ho dimostrato io fornisce solo una condizione sufficiente all'integrabilità di \(f\) (condizione che si guarda bene dall'essere pure necessaria), quindi l'ipotesi fatta sul limite può essere rilassata.
gugo non ho capito...
vorrei sapere se quanto ho scritto nel mio post è GIUSTO, e se è completo, cioè se va integrato...quello che tu hai usato nel risolvere l'esercizio è UN ALTRO TEOREMA, o è sempre lo stesso, questo che ho citato? Possibilmente potresti scrivermi SINTETICAMENTE (ma in modo esaustivo) come vanno le cose?
vorrei sapere se quanto ho scritto nel mio post è GIUSTO, e se è completo, cioè se va integrato...quello che tu hai usato nel risolvere l'esercizio è UN ALTRO TEOREMA, o è sempre lo stesso, questo che ho citato? Possibilmente potresti scrivermi SINTETICAMENTE (ma in modo esaustivo) come vanno le cose?
Facciamo un riassunto...
Da ora in avanti, \(f,g:[a,+\infty[\to \mathbb{R}\) saranno due funzioni limitate ed integrabili secondo Riemann su ogni compatto contenuto in \([a,+\infty[\) (N.B.: esse possono essere anche non limitate su tutto \([a,+\infty[\)) e \(g\) è definitivamente non nulla intorno a \(+\infty\).
Valgono i seguenti fatti:
Nella 1 il \(\lim_{x\to +\infty}\) può essere sostituito col più debole \(\limsup_{x\to +\infty}\).
Ovviamente il criterio "debole" 1 è quello che ho usato io più sopra: esso si dimostra come fatto più su, usando la definizione di limite con \(\varepsilon =1\).
Mentre il criterio "forte" 2 è quello che ha spiegato il tuo docente, e si dimostra applicando 1 prima al rapporto \(|f(x)|/|g(x)|\) e poi al rapporto \(|g(x)|/|f(x)|\).
Perchè ho chiamato il 2 criterio del confronto "forte", mentre 1 l'ho definito "debole"?
Beh, 1 è "debole" perchè ti permette di ottenere da (D) informazioni sulla sommabilità del numeratore sfruttando la sommabilità del denominatore; ma non ti consente di fare il viceversa. Pertanto, nell'ipotesi (D), esso è solo una condizione sufficiente alla sommabilità della \(f\).
Invece, 2 è "forte" perchè ti dice che se vale (F) allora il numeratore è sommabile se e solo se lo è il denominatore. Perciò, nell'ipotesi (F), esso è una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di \(f\).
__________
* Che l'implicazione in 1 non si inverta (i.e., che dalla sommabilità di \(f\) non si possa ricavare quella di \(g\)) è semplicissimo da mostrare: infatti, scegliendo \(a=1,\ f(x)=e^{-x},\ g(x)=1/x\), si ha:
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^x} =0
\]
ed \(\int_1^{+\infty} |f(x)|\ \text{d} x=\int_1^{+\infty} e^{-x}\ \text{d} x =1/e\), ma tuttavia \(\int_1^{+\infty} |g(x)|\ \text{d} x=\int_1^{+\infty} 1/x\ \text{d} x =+\infty\).
Da ora in avanti, \(f,g:[a,+\infty[\to \mathbb{R}\) saranno due funzioni limitate ed integrabili secondo Riemann su ogni compatto contenuto in \([a,+\infty[\) (N.B.: esse possono essere anche non limitate su tutto \([a,+\infty[\)) e \(g\) è definitivamente non nulla intorno a \(+\infty\).
Valgono i seguenti fatti:
1 (Criterio del confronto asintotico "debole"). Se:
\[
\tag{D} \lim_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} \text{ è finito}
\]
allora:
\[
\int_a^\infty |g(x)|\ \text{d} x < +\infty \qquad \Rightarrow \qquad \int_a^\infty |f(x)|\ \text{d} x < +\infty
\]
(ed in generale l'implicazione non s'inverte*).
2 (Criterio del confronto asintotico "forte"). Se:
\[
\tag{F} \lim_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} \text{ è finito e non nullo}
\]
allora:
\[
\int_a^\infty |g(x)|\ \text{d} x < +\infty \qquad \Leftrightarrow \qquad \int_a^\infty |f(x)|\ \text{d} x < +\infty\; .
\]
Nella 1 il \(\lim_{x\to +\infty}\) può essere sostituito col più debole \(\limsup_{x\to +\infty}\).
Ovviamente il criterio "debole" 1 è quello che ho usato io più sopra: esso si dimostra come fatto più su, usando la definizione di limite con \(\varepsilon =1\).
Mentre il criterio "forte" 2 è quello che ha spiegato il tuo docente, e si dimostra applicando 1 prima al rapporto \(|f(x)|/|g(x)|\) e poi al rapporto \(|g(x)|/|f(x)|\).
Perchè ho chiamato il 2 criterio del confronto "forte", mentre 1 l'ho definito "debole"?
Beh, 1 è "debole" perchè ti permette di ottenere da (D) informazioni sulla sommabilità del numeratore sfruttando la sommabilità del denominatore; ma non ti consente di fare il viceversa. Pertanto, nell'ipotesi (D), esso è solo una condizione sufficiente alla sommabilità della \(f\).
Invece, 2 è "forte" perchè ti dice che se vale (F) allora il numeratore è sommabile se e solo se lo è il denominatore. Perciò, nell'ipotesi (F), esso è una condizione necessaria e sufficiente per la sommabilità di \(f\).
__________
* Che l'implicazione in 1 non si inverta (i.e., che dalla sommabilità di \(f\) non si possa ricavare quella di \(g\)) è semplicissimo da mostrare: infatti, scegliendo \(a=1,\ f(x)=e^{-x},\ g(x)=1/x\), si ha:
\[
\lim_{x\to +\infty} \frac{|f(x)|}{|g(x)|} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{e^x} =0
\]
ed \(\int_1^{+\infty} |f(x)|\ \text{d} x=\int_1^{+\infty} e^{-x}\ \text{d} x =1/e\), ma tuttavia \(\int_1^{+\infty} |g(x)|\ \text{d} x=\int_1^{+\infty} 1/x\ \text{d} x =+\infty\).
molto chiaro grazie.
allora supponiamo che io voglia capire se un integrale improprio converge opp. diverge.
provo a calcolare il limite $f(x)/(1/x^\alpha)$ e trovo che questo limite è 0 per un determinato valore di $\alpha$, $1/2$ per altri valori di $\alpha$ e $+\infty$ nei restanti casi.
come mi regolo? se per esempio trovo che per $\alpha=1$ il limite è 0, e che per $\alpha=2$ il limite è $1/2$...l'integrale considerato CONVERGE o DIVERGE? mi sono capitati molti di questi casi
e altra domanda, il criterio forte e debole rimangono invariati se prendo un punto di accumulazione finito invece che $+\infty$?
allora supponiamo che io voglia capire se un integrale improprio converge opp. diverge.
provo a calcolare il limite $f(x)/(1/x^\alpha)$ e trovo che questo limite è 0 per un determinato valore di $\alpha$, $1/2$ per altri valori di $\alpha$ e $+\infty$ nei restanti casi.
come mi regolo? se per esempio trovo che per $\alpha=1$ il limite è 0, e che per $\alpha=2$ il limite è $1/2$...l'integrale considerato CONVERGE o DIVERGE? mi sono capitati molti di questi casi
e altra domanda, il criterio forte e debole rimangono invariati se prendo un punto di accumulazione finito invece che $+\infty$?
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