Disuguaglianza

[valesyle92]

Salve a tutti sto cercando per esercizio di risolvere questo limite con la disuguaglianza di Young : $lim_((x,y)->(0,0))((|x|^(14/8)*y )/(x^2 + y^4))$


Io ho provato a fare queste maggiorazioni $(|x|^(14/8)*y )/(x^2 + y^4) <= (1/p (|x|^(14*p/8)) + (1/q) y^q ) /( x^2+y^4)$


pero' poi mi blocco...se qualcuno puo darmi una mano lo ringrazio molto.

[UmbertoM1]

Ciao, il ragionamento che devi fare è questo:
Osservi che $lim_((x,y)->(0,0))\frac{|x|^(14/8)*y}{x^2+y^4}=0<=>lim_((x,y)->(0,0))|\frac{|x|^(14/8)*y}{x^2+y^4}|=0$.
E poi devi trovare un'opportuna maggiorazione di $|\frac{|x|^(14/8)*y}{x^2+y^4}|$ che tende a 0 per poter applicare il criterio del confronto:
L'idea è questa: Maggiorare il numeratore con qualcosa della forma $k(x^2+y^4)*r(x,y)$ ove $r(x,y)$ è una quantità che tende a 0. $|ab|<=|a|^p/p+|b|^q/q$ ove $p>=1,q>=1,1/p+1/q=1$
$|x|^c*|y|<=|x|^(c*alpha)/alpha+(alpha-1)/alpha|y|^(alpha/(alpha-1))$
Imponiamo che $c*alpha=2,alpha/(alpha-1)=4$
$alpha=4/3$, $c=3/2$
perciò $|x|^(3/2)*|y|<=3/4|x|^2+1/4|y|^4<=x^2+y^4$
$0<=|\frac{|x|^(7/4)*y}{x^2+y^4}|=|x|^(1/4)\frac{|x|^(3/2)*|y|}{x^2+y^4}|<=|x|^(1/4)$ Chiaramente l'ultimo mebro tende a 0, per confronto il tuo limite fa 0.

[valesyle92]

OKKK GRAZIE MILLE VERAMENTE MI HAI AIUTATO SEI UN GENIO .....:):):)

[totissimus]

Suggerisco quest'altra soluzione:

vale la seguente disuguaglianza : \( x^4+y^4 \geq \frac{7}{8}|y||x|^3\) infatti, supposto \( x\geq 0, y\geq 0\):

\( (x-y)^4=x^4-4x^3y+6x^2y^2-4xy^3+y^4\geq0\) da cui:

\( x^4+y^4 \geq 2xy(2x^2+2y^2-3xy)\)

Il trinomio di secondo grado in \(y\) scritto in parentesi ha il discriminate negativo uguale a \( -7y^2\) e quindi ha un minimo uguale a \( \frac{7}{8}x^2\) da cui la disuguaglianza.

Ritornando all'esercizio proposto, poniamo \( x^4=a\) e quindi:
\(\displaystyle \frac{\sqrt[4]{x^7}y}{x^2+y^4}=\frac{a^7y}{(a^2)^4+y^4}\leq \frac{a^7y}{\frac{7}{8}ya^6}=\frac{8}{7}a=\frac{8}{7}\sqrt[4]{x}\)