Distribuzioni (metodi matematici)
Salve a tutti, oggi ho fatto la prova scritta di metodi, poichè l'orale parte dallo scritto mi servirebbe una mano su questo esercizio che ho consegnato ma sul quale ho molti dubbi. vi prego di commentare, anche parzialmente, qualsiasi commento è, in questo momento, particolarmente gradito. Grazie
allora, il testo:
Per ogni $\alpha > 0 $ sia $f_\alpha $ la funzione da $ RR -> CC $
$f_\alpha (x)= e^(-\alpha |n|)$ $ n
-Se appartiene a $L^2 (RR)$ calcolarne la trasformata.
-se definisce una distribuzione temperata, calcolarne la derivata nel senso delle distribuzioni.
-calcolare il limite, nel senso delle distribuzioni, della f e della sua derivata per $\alpha -> 0^+$ e per $\alpha -> +oo$
Dunque
in ogni intervallo $(n, n+1)$ la funzione è costante, decrescente al crescere di x (e quindi di n)
per $x->+oo$ ovvero $n-> +oo$ $|f|^p ->0 $ rapidamente per ogni p>0 ovviamente.
calcolo la trasformata:
$1/sqrt(2\pi) int_{-oo}^{+oo} f_\alpha e^(-ikx)dx=1/sqrt(2\pi) sum_{n=-oo}^{+oo} int_{n}^{n+1} e^(-\alpha |n|) e^(-ikx) dx$
a questo punto, trascurando un attimo il coefficiente $1/sqrt(2\pi)$, poichè c'è |n| e la somma va da meno infinito a più infinito:
$=2 sum_{n=0}^{+oo} int_{n}^{n+1} e^(-\alpha n) e^(-ikx)dx=$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) int_{n}^{n+1} e^(-ikx)dx=$
$=2/(-ik) sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) (e^(-ik(n+1))-e^(-ikn))=$
$=2/(-ik) sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn) (e^(-ik)-1) =$
$=2/(-ik) (e^(-ik)-1) sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn) =$
$=2/(-ik) (e^(-ik)-1) sum_{n=0}^{+oo} e^(-(\alpha - ikn)n =$
$=2/(-ik) (e^(-ik)-1) / (1-e^(-(\alpha +ik)) )=$
moltiplicando e dividendo per il complesso coniugato del denominatore, aggiungendo il coefficiente $1/sqrt(2\pi)$:
$=1/sqrt(2\pi) 2/(-ik) (e^(-\alpha)+1) (e^(-ik)-1)/(1+e^(-2\alpha) - e^(-\alpha) cos\alpha)$
è una funzione temperata perchè ha andamento decrescente.
la derivata:
$f'_\alpha =sum_{n=-oo}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha |n+1|) - e^(-\alpha |n|))=$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha (n+1)) - e^(-\alpha (n)))=$
$=2 (e^(\alpha) -1) sum_{n=0}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha n))$
credo di non poter andare oltre perchè non è una serie geometrica, giusto?
sui limiti ho la maggior parte dei miei dubbi:
calcolo il prodotto scalare $\phi $ è una funzione test
$ = sum_{n=-oo}^{+oo} int_{n}^{n+1} e^(-\alpha |n|) \phi(x) dx=$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) int_{n}^{n+1} \phi(x) dx=$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) (\phi(n+1)-\phi(n) )dx=$
adesso andando al limite $\alpha -> 0^+ $
e considerando che la $ sum_{n=0}^{+oo} (\phi(n+1)-\phi(n)) = \phi(1)-\phi(0) +\phi(2) -\phi(1) +... $
si elidono tutti i termini tranne l'ultimo diciamo $\phi(+oo)$ e il primo negativo $-\phi(0)$
quindi la distribuzione tende a $ -2 \delta_0$
con un ragionamento analogo arrivato a $=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) (\phi(n+1)-\phi(n) )dx=$
andando con il limite per $\alpha -> +oo$ ottengo $0$ la distribuzione tende alla distribuzione nulla.
per il limite della derivata:
$ = = - sum_{n=-oo}^{+oo} int_{n}^{n+1} e^(-\alpha |n|) \phi(x) dx=$
identico al caso precedente con un meno davanti
quindi la distribuzione tende a $2 \delta_0$ per $\alpha->0^+$ e alla distribuzione nulla per $\alpha->+oo$
Signori, commentate, qualsiasi cosa. grazie mille
allora, il testo:
Per ogni $\alpha > 0 $ sia $f_\alpha $ la funzione da $ RR -> CC $
$f_\alpha (x)= e^(-\alpha |n|)$ $ n
-Se appartiene a $L^2 (RR)$ calcolarne la trasformata.
-se definisce una distribuzione temperata, calcolarne la derivata nel senso delle distribuzioni.
-calcolare il limite, nel senso delle distribuzioni, della f e della sua derivata per $\alpha -> 0^+$ e per $\alpha -> +oo$
Dunque
in ogni intervallo $(n, n+1)$ la funzione è costante, decrescente al crescere di x (e quindi di n)
per $x->+oo$ ovvero $n-> +oo$ $|f|^p ->0 $ rapidamente per ogni p>0 ovviamente.
calcolo la trasformata:
$1/sqrt(2\pi) int_{-oo}^{+oo} f_\alpha e^(-ikx)dx=1/sqrt(2\pi) sum_{n=-oo}^{+oo} int_{n}^{n+1} e^(-\alpha |n|) e^(-ikx) dx$
a questo punto, trascurando un attimo il coefficiente $1/sqrt(2\pi)$, poichè c'è |n| e la somma va da meno infinito a più infinito:
$=2 sum_{n=0}^{+oo} int_{n}^{n+1} e^(-\alpha n) e^(-ikx)dx=$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) int_{n}^{n+1} e^(-ikx)dx=$
$=2/(-ik) sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) (e^(-ik(n+1))-e^(-ikn))=$
$=2/(-ik) sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn) (e^(-ik)-1) =$
$=2/(-ik) (e^(-ik)-1) sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn) =$
$=2/(-ik) (e^(-ik)-1) sum_{n=0}^{+oo} e^(-(\alpha - ikn)n =$
$=2/(-ik) (e^(-ik)-1) / (1-e^(-(\alpha +ik)) )=$
moltiplicando e dividendo per il complesso coniugato del denominatore, aggiungendo il coefficiente $1/sqrt(2\pi)$:
$=1/sqrt(2\pi) 2/(-ik) (e^(-\alpha)+1) (e^(-ik)-1)/(1+e^(-2\alpha) - e^(-\alpha) cos\alpha)$
è una funzione temperata perchè ha andamento decrescente.
la derivata:
$f'_\alpha =sum_{n=-oo}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha |n+1|) - e^(-\alpha |n|))=$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha (n+1)) - e^(-\alpha (n)))=$
$=2 (e^(\alpha) -1) sum_{n=0}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha n))$
credo di non poter andare oltre perchè non è una serie geometrica, giusto?
sui limiti ho la maggior parte dei miei dubbi:
calcolo il prodotto scalare $\phi $ è una funzione test
$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) int_{n}^{n+1} \phi(x) dx=$
$=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) (\phi(n+1)-\phi(n) )dx=$
adesso andando al limite $\alpha -> 0^+ $
e considerando che la $ sum_{n=0}^{+oo} (\phi(n+1)-\phi(n)) = \phi(1)-\phi(0) +\phi(2) -\phi(1) +... $
si elidono tutti i termini tranne l'ultimo diciamo $\phi(+oo)$ e il primo negativo $-\phi(0)$
quindi la distribuzione tende a $ -2 \delta_0$
con un ragionamento analogo arrivato a $=2 sum_{n=0}^{+oo} e^(-\alpha n) (\phi(n+1)-\phi(n) )dx=$
andando con il limite per $\alpha -> +oo$ ottengo $0$ la distribuzione tende alla distribuzione nulla.
per il limite della derivata:
$
identico al caso precedente con un meno davanti
quindi la distribuzione tende a $2 \delta_0$ per $\alpha->0^+$ e alla distribuzione nulla per $\alpha->+oo$
Signori, commentate, qualsiasi cosa. grazie mille
Risposte
La funzione assegnata non è pari, ma ci va vicino... Infatti il suo grafico è simmetrico rispetto al punto \(x=1/2\); pertanto per fare i conti basta guardare cosa accade per \(x>1/2\).
La norma \(L^p\) di \(f_\alpha\) è data da:
\[
\begin{split}
\| f_\alpha\|_p^p &= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty e^{-\alpha p n} \\
&= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty (e^{-\alpha p})^n \\
&= 1 + 2\ \left(\frac{1}{1-e^{-\alpha p}} -1\right) \\
&= 1 + \frac{2 e^{-\alpha p}}{1-e^{-\alpha p}} \\
&= \frac{e^{\alpha p} +1}{e^{\alpha p} -1} <+\infty
\end{split}
\]
(l'uso della serie geometrica è giustificato dal fatto che \(00\) e \(p\in [1,\infty[\)), dunque \(f_\alpha \in L^p (\mathbb{R})\) per ogni \(p \in [1,\infty[\); d'altra parte, si vede che \(f_\alpha\) decresce in \([1/2,\infty[\), sicché:
\[
\| f_\alpha \|_\infty = f_\alpha (1/2) = 1<+\infty
\]
ed \(f_\alpha \in L^\infty (\mathbb{R})\).
Il calcolo della trasformata contiene un errore, dovuto al fatto che \(f_\alpha\) non è pari (dunque il 2 davanti alla somma \(\sum_{n=0}^\infty\) non va bene).
Per il limite, qualcosa non mi torna... Fissato un test \(\phi \in C_c^\infty\), esistono \(\nu \leq \mu \in \mathbb{Z}\) (indipendenti da \(\alpha\)!) tali che il supporto di \(\phi\) sia contenuto in \([\nu,\mu +1]\) (perché è limitato), dunque:
\[
\langle f_\alpha ,\phi \rangle = \sum_{n=\nu}^\mu e^{-\alpha n} \int_n^{n+1} \phi
\]
dunque, al limite per \(\alpha \to 0\) hai:
\[
\begin{split}
\lim_{\alpha \to 0} \langle f_\alpha ,\phi \rangle &= \lim_{\alpha \to 0} \sum_{n=\nu}^\mu e^{-\alpha n} \int_n^{n+1} \phi \\
&= \int_\nu^{\mu +1} \phi \\
&= \int_{-\infty}^\infty \phi\\
&= \langle 1,\phi \rangle
\end{split}
\]
quindi \(f_\alpha \to 1\) per \(\alpha \to 0\) nel senso delle distribuzioni.
Analogamente:
\[
\begin{split}
\lim_{\alpha \to \infty} \langle f_\alpha ,\phi \rangle &= \lim_{\alpha \to \infty} \sum_{n=\nu}^\mu e^{-\alpha n} \int_n^{n+1} \phi \\
&= \begin{cases} 0 &\text{, se } \mu <0 \text{ oppure } \nu \geq 1 \\ \int_0^1 \phi &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
&= \int_0^1 \phi\\
&= \langle \operatorname{u}(x) - \operatorname{u}(x-1),\phi \rangle
\end{split}
\]
dunque \(f_\alpha \to \operatorname{u}(x) - \operatorname{u}(x-1)\) per \(\alpha \to \infty\) nel senso delle distribuzioni.
Per il resto non so.
Comunque rivedi i conti, che è da tempo che non faccio esercizi del genere.
La norma \(L^p\) di \(f_\alpha\) è data da:
\[
\begin{split}
\| f_\alpha\|_p^p &= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty e^{-\alpha p n} \\
&= 1 + 2 \sum_{n=1}^\infty (e^{-\alpha p})^n \\
&= 1 + 2\ \left(\frac{1}{1-e^{-\alpha p}} -1\right) \\
&= 1 + \frac{2 e^{-\alpha p}}{1-e^{-\alpha p}} \\
&= \frac{e^{\alpha p} +1}{e^{\alpha p} -1} <+\infty
\end{split}
\]
(l'uso della serie geometrica è giustificato dal fatto che \(0
\[
\| f_\alpha \|_\infty = f_\alpha (1/2) = 1<+\infty
\]
ed \(f_\alpha \in L^\infty (\mathbb{R})\).
Il calcolo della trasformata contiene un errore, dovuto al fatto che \(f_\alpha\) non è pari (dunque il 2 davanti alla somma \(\sum_{n=0}^\infty\) non va bene).
Per il limite, qualcosa non mi torna... Fissato un test \(\phi \in C_c^\infty\), esistono \(\nu \leq \mu \in \mathbb{Z}\) (indipendenti da \(\alpha\)!) tali che il supporto di \(\phi\) sia contenuto in \([\nu,\mu +1]\) (perché è limitato), dunque:
\[
\langle f_\alpha ,\phi \rangle = \sum_{n=\nu}^\mu e^{-\alpha n} \int_n^{n+1} \phi
\]
dunque, al limite per \(\alpha \to 0\) hai:
\[
\begin{split}
\lim_{\alpha \to 0} \langle f_\alpha ,\phi \rangle &= \lim_{\alpha \to 0} \sum_{n=\nu}^\mu e^{-\alpha n} \int_n^{n+1} \phi \\
&= \int_\nu^{\mu +1} \phi \\
&= \int_{-\infty}^\infty \phi\\
&= \langle 1,\phi \rangle
\end{split}
\]
quindi \(f_\alpha \to 1\) per \(\alpha \to 0\) nel senso delle distribuzioni.
Analogamente:
\[
\begin{split}
\lim_{\alpha \to \infty} \langle f_\alpha ,\phi \rangle &= \lim_{\alpha \to \infty} \sum_{n=\nu}^\mu e^{-\alpha n} \int_n^{n+1} \phi \\
&= \begin{cases} 0 &\text{, se } \mu <0 \text{ oppure } \nu \geq 1 \\ \int_0^1 \phi &\text{, altrimenti}\end{cases}\\
&= \int_0^1 \phi\\
&= \langle \operatorname{u}(x) - \operatorname{u}(x-1),\phi \rangle
\end{split}
\]
dunque \(f_\alpha \to \operatorname{u}(x) - \operatorname{u}(x-1)\) per \(\alpha \to \infty\) nel senso delle distribuzioni.
Per il resto non so.
Comunque rivedi i conti, che è da tempo che non faccio esercizi del genere.
Innanzitutto grazie gugo...
hai ragione... ho stupidamente e ripetutamente dimenticato i termini della serie corrispondenti a n=0;
volevo chiederti maggiori chiarimenti su $|| f ||_{oo} =f(1/2)=1$ non mi è molto chiaro.
posto la trasformata ricalcolata:
$\hat{f_\alpha(k)}=1/sqrt(2\pi) sum_{n=-oo}^{+oo} e^-(\alpha |n|) int_{n}^{n+1} e^(-ikx) =$
$= 1/(-ik sqrt(2\pi)) sum_{n=-oo}^{+oo} e^-(\alpha |n|) (e^(-ik(n+1)) -e^(-ikn) ) $
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) sum_{n=-oo}^{+oo} e^-(\alpha |n|) (e^(-ik) -1) e^(-ikn)$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [(sum_{n=-oo}^{-1} e^(\alpha n) e^(-ikn)) +1 +(sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn)) ] $
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [(sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(ikn)) +1 +(sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn)) ]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) (e^(ikn) +e^(-ikn)) +1]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) (coskn) +1]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) (-1)^n +1]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=0}^{+oo} (-e^(-\alpha))^n] $
mi chiedo se sia una serie geometrica, se lo è:
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1)/(1+e^(-\alpha)) $
adesso sarà corretta?
la derivata, tenendo conto del fatto che la funzione non è pari:
$f'_\alpha =sum_{n=-oo}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha |n+1|) - e^(-\alpha |n|))=$
$=sum_{n=-oo}^{-1} \delta_n (e^(\alpha (n+1)) - e^(\alpha n))+sum_{n=1}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha (n+1)) - e^(-\alpha n)) +\delta_0(e^(-\alpha) -1)=$
$=\delta_0 (e^(-\alpha) -1) +2 sum_{n=1}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha) -1) e^(-\alpha n)$
$=(e^(-\alpha) -1) (2 sum_{n=1}^{+oo} \delta_n e^(-\alpha n) +\delta_0)$
$=(e^(-\alpha) -1) sum_{n=1}^{+oo} \delta_n e^(-\alpha n)$
questa credo sia corretta.
Per quanto riguarda i limiti
non capisco come sei passato da $int_{\ni}^{\mu+1} \phi$ a $int_{-oo}^{+oo} \phi $ e perchè l'integrale è $1$
per il secondo limite, va bene che fuori dall'intervallo in cui $\phi$ è compatta il limite va a zero, ma gli estremi di integrazione e il risultato da dove vengono?
per i limiti della derivata, l'espressione
$ = $ è sicuramente corretta
ma non saprei proprio come continuare a questo punto.
Grazie di nuovo.
L'invito a commentare, qualsiasi commento, è sempre valido.
hai ragione... ho stupidamente e ripetutamente dimenticato i termini della serie corrispondenti a n=0;
volevo chiederti maggiori chiarimenti su $|| f ||_{oo} =f(1/2)=1$ non mi è molto chiaro.
posto la trasformata ricalcolata:
$\hat{f_\alpha(k)}=1/sqrt(2\pi) sum_{n=-oo}^{+oo} e^-(\alpha |n|) int_{n}^{n+1} e^(-ikx) =$
$= 1/(-ik sqrt(2\pi)) sum_{n=-oo}^{+oo} e^-(\alpha |n|) (e^(-ik(n+1)) -e^(-ikn) ) $
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) sum_{n=-oo}^{+oo} e^-(\alpha |n|) (e^(-ik) -1) e^(-ikn)$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [(sum_{n=-oo}^{-1} e^(\alpha n) e^(-ikn)) +1 +(sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn)) ] $
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [(sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(ikn)) +1 +(sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) e^(-ikn)) ]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) (e^(ikn) +e^(-ikn)) +1]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) (coskn) +1]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=1}^{+oo} e^(-\alpha n) (-1)^n +1]$
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1) [sum_{n=0}^{+oo} (-e^(-\alpha))^n] $
mi chiedo se sia una serie geometrica, se lo è:
$=1/(-ik sqrt(2\pi)) (e^(-ik) -1)/(1+e^(-\alpha)) $
adesso sarà corretta?
la derivata, tenendo conto del fatto che la funzione non è pari:
$f'_\alpha =sum_{n=-oo}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha |n+1|) - e^(-\alpha |n|))=$
$=sum_{n=-oo}^{-1} \delta_n (e^(\alpha (n+1)) - e^(\alpha n))+sum_{n=1}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha (n+1)) - e^(-\alpha n)) +\delta_0(e^(-\alpha) -1)=$
$=\delta_0 (e^(-\alpha) -1) +2 sum_{n=1}^{+oo} \delta_n (e^(-\alpha) -1) e^(-\alpha n)$
$=(e^(-\alpha) -1) (2 sum_{n=1}^{+oo} \delta_n e^(-\alpha n) +\delta_0)$
$=(e^(-\alpha) -1) sum_{n=1}^{+oo} \delta_n e^(-\alpha n)$
questa credo sia corretta.
Per quanto riguarda i limiti
non capisco come sei passato da $int_{\ni}^{\mu+1} \phi$ a $int_{-oo}^{+oo} \phi $ e perchè l'integrale è $1$
per il secondo limite, va bene che fuori dall'intervallo in cui $\phi$ è compatta il limite va a zero, ma gli estremi di integrazione e il risultato da dove vengono?
per i limiti della derivata, l'espressione
$
ma non saprei proprio come continuare a questo punto.
Grazie di nuovo.
L'invito a commentare, qualsiasi commento, è sempre valido.
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