Distribuzioni e Derivate
Ciao a tutti!
Qualcuno di voi, potrebbe iniziarmi al fantastico e trascendentale mondo delle derivate distribuzionali?
Sul mio libro, quello scritto dal prof, non c'è scritto niente a parte la teoria...
e con la sola teoria, non riesco proprio a risolvere gli esercizi che chiedono il calcolo delle distribuzioni...
mi spiegate il concetto che vi è base?
o se avete appunti online da consigliarmi... insomma... qualcosa che mi faccia capire l'algoritmo da applicare per risolvere esercizi sulla derivate...
vi ringrazio
Qualcuno di voi, potrebbe iniziarmi al fantastico e trascendentale mondo delle derivate distribuzionali?
Sul mio libro, quello scritto dal prof, non c'è scritto niente a parte la teoria...
e con la sola teoria, non riesco proprio a risolvere gli esercizi che chiedono il calcolo delle distribuzioni...
mi spiegate il concetto che vi è base?
o se avete appunti online da consigliarmi... insomma... qualcosa che mi faccia capire l'algoritmo da applicare per risolvere esercizi sulla derivate...
vi ringrazio
Risposte
Mah, l'idea che sta alla base è quella di derivata debole. Hai mai visto una derivata debole?
Se hai una funzione $f \in C^1(\Omega)$, è chiaro (integrando per parti) che per ogni funzione $\phi \in C^\infty_c (\Omega)$ si abbia
$\int_\Omega{f' * \phi} = - \int_\Omega{f * \phi'}$
(il termine di bordo si cancella perché la $phi$ è nulla al bordo).
Allora possiamo pensare di estendere il concetto di derivata anche a funzioni $f \in L^1_{loc}$ che non ammettono derivata in senso classico, e la funzione $g$ (quando esiste) che verifica
$\int_\Omega{g * \phi} = - \int_\Omega{f * \phi'}$ $\forall \phi \in C^\infty_c (\Omega)$
sarà detta DERIVATA DEBOLE di $f$.
Ora facciamo un passo ulteriore: se guardiamo all'integrale di $u * \psi$ come un funzionale lineare $T_u$ associato a $u \in L^1_\loc$ che agisce su $\psi \in C^\infty_c (\Omega)$, cioè
$T_u (\psi) = \int_\Omega{u * \psi}$
(non so se tu usi la notazione $$ invece, per denotare la dualità: è lo stesso)
allora $T_u \in D^\prime (\Omega)$ e la formula
$\int_\Omega{g * \phi} = - \int_\Omega{f * \phi'}$
che abbiamo visto sopra si legge
$T_f (\phi') = - T_g (\phi)$
o (con un piccolo ma comune abuso di notazione)
$f (\phi') = - g (\phi)$
e si presta ad un'ulteriore estensione del concetto di derivata quando gli oggetti a sinistra e a destra non sono funzioni (e la dualità non è rappresentabile tramite integrali). Si tratta della DERIVATA DISTRIBUZIONALE (non credo di dovertela ridefinire, vero?)
All'atto pratico in molti casi calcolare una derivata distribuzionale significa semplicemente fare delle integrazioni per parti e poi "interpretare" il risultato come un qualcosa applicato alla funzione $C^\infty_c$. È anche comodo sapere che laddove esistono le derivate in senso classico e/o debole la derivata distribuzionale (essendone un'estensione) coincide con esse. NON è vera la stessa cosa per le derivate q.o.: la funzione di Heaviside ha derivata q.o. nulla (è q.o. costante) ma la sua derivata distribuzionale è la $\delta$ di Dirac.
Se hai una funzione $f \in C^1(\Omega)$, è chiaro (integrando per parti) che per ogni funzione $\phi \in C^\infty_c (\Omega)$ si abbia
$\int_\Omega{f' * \phi} = - \int_\Omega{f * \phi'}$
(il termine di bordo si cancella perché la $phi$ è nulla al bordo).
Allora possiamo pensare di estendere il concetto di derivata anche a funzioni $f \in L^1_{loc}$ che non ammettono derivata in senso classico, e la funzione $g$ (quando esiste) che verifica
$\int_\Omega{g * \phi} = - \int_\Omega{f * \phi'}$ $\forall \phi \in C^\infty_c (\Omega)$
sarà detta DERIVATA DEBOLE di $f$.
Ora facciamo un passo ulteriore: se guardiamo all'integrale di $u * \psi$ come un funzionale lineare $T_u$ associato a $u \in L^1_\loc$ che agisce su $\psi \in C^\infty_c (\Omega)$, cioè
$T_u (\psi) = \int_\Omega{u * \psi}$
(non so se tu usi la notazione $
allora $T_u \in D^\prime (\Omega)$ e la formula
$\int_\Omega{g * \phi} = - \int_\Omega{f * \phi'}$
che abbiamo visto sopra si legge
$T_f (\phi') = - T_g (\phi)$
o (con un piccolo ma comune abuso di notazione)
$f (\phi') = - g (\phi)$
e si presta ad un'ulteriore estensione del concetto di derivata quando gli oggetti a sinistra e a destra non sono funzioni (e la dualità non è rappresentabile tramite integrali). Si tratta della DERIVATA DISTRIBUZIONALE (non credo di dovertela ridefinire, vero?)
All'atto pratico in molti casi calcolare una derivata distribuzionale significa semplicemente fare delle integrazioni per parti e poi "interpretare" il risultato come un qualcosa applicato alla funzione $C^\infty_c$. È anche comodo sapere che laddove esistono le derivate in senso classico e/o debole la derivata distribuzionale (essendone un'estensione) coincide con esse. NON è vera la stessa cosa per le derivate q.o.: la funzione di Heaviside ha derivata q.o. nulla (è q.o. costante) ma la sua derivata distribuzionale è la $\delta$ di Dirac.
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