Distanza tra vettori

[gundamrx91-votailprof]

La distanza tra due vettori [tex]x,y \in \mathbb{R}^n[/tex] è definita come:

[tex]d(x,y) := \|x-y\| = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2}[/tex]

In un esercizio viene chiesto di verificare che [tex]d_1(x,y) = |x_1 - y_1| + |x_2 - y_2|[/tex] sia una definizione valida di distanza tra vettori.
Da quello che ho capito penso che si debba verificare che tale definizione "risponda" alle seguenti proprietà:

P1: [tex]d(x,y) \ge 0; d(x,y)=0 \Leftrightarrow x=y[/tex]
P2: [tex]d(x,y)=d(y,x)[/tex]
P3: [tex]d(x,y) \le d(x,z) + d(z,y)[/tex]

Ora, per le prime due proprietà la soluzione mi sembra banale in quanto la somma di due quantità, "sotto" valore assoluto è sempre positiva, quindi la P1 è verificata, e anche la P2 è verificata in quanto anche commutando i due vettori la situazione non cambia.
Invece per la P3 non so come impostare la cosa...

[_prime_number]

Siano $x,y,z$ tre vettori del piano.
Allora si ha
$d_1(x,y)= |x_1-y_1| + |x_2 - y_2|=|x_1 -z_1 + z_1 -y_1| + |x_2 -z_2 +z_2-y_2|\leq $(per le propr. del valore assoluto)$|x_1 -z_1|+ |z_1 -y_1| + |x_2 -z_2 |+|z_2-y_2|=d_1(x,z) + d_1(y,z)$.

Paola

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Ok, grazie mille!!!!