Distanza minima di un punto da una funzione

[GDLAN1983]

Sono in difficoltà un vecchio testo di esame di maturità scientifica recitava:

Si disegni il grafico della funzione

$ y = (x^2 + 1) /(x^2 - 1)$

e se ne determinino i punti per i quali la distanza dal punto A(0,1) assume il valore minimo.

Ebbene mi sembra un esempio classimo di problema di minimo. Nel senso che un punto appartenente alla funzione , avrà senz'altro coordinate:

$P ( x , (x^2+1)/(x^2-1) ) $ ed allora mi vado a calcolare la distanza dal punto A trovando:

$PA = sqrt ((x^6 - 2x^4 + x^2 + 4)/ (x^2 - 1 ) ^2) $

a questo punto mi viene solo in mente di calcolarmi la derivata prima e sperare di trovare un punto di minimo , che invece non c'è per aver già fatto il grafico qualitativo ed aver trovato invece un punto di Max in $ ( 0, -1) $

Verrebbe invece spontaneo ed ovvia dire invece che la distanza minima si ha proprio dal punto di Max citato prima dove la distanza è proprio uguale a 2 ed è data dalla verticale passante per i due punti.

Insomma non riesco a venirne fuori. Potete aiutarmi.

Grazie

R. Antonelli.

[GDLAN1983]

Dimenticavo di dire che naturalmente nei due punti di ascissa$ x= -1$ ed $ x = 1$ vi sono due asintoti verticali$.

Roby.

[dissonance]

Avrai sbagliato qualche calcolo nello studio qualitativo. Infatti esistono sicuramente uno o più punti di distanza minima tra $(0, 1)$ e il grafico della funzione: [asvg]xmin=-5; xmax=5;axes(); xmin=-5; xmax=-1.001;plot("(x^2+1)/(x^2-1)");xmin=-1; xmax=0.999; plot("(x^2+1)/(x^2-1)"); xmin=1; xmax=5;plot("(x^2+1)/(x^2-1)");dot([0, 1]);[/asvg]per questioni topologiche (il grafico di $f$ è un insieme chiuso del piano). A naso direi che il punto di distanza minima è unico ed è $(0, f(0))$.

[gugo82]

La distanza tra [tex]$A$[/tex] ed il punto variabile [tex]$P$[/tex] è:

[tex]$\varphi (x)=\sqrt{(x-0)^2+\left( \frac{x^2+1}{x^2-1} -1\right)^2} $[/tex]
[tex]$=\sqrt{x^2+\left( \frac{x^2+1-x^2+1}{x^2-1}\right)^2}$[/tex]
[tex]$=\sqrt{x^2+\frac{4}{(x^2-1)^2}}$[/tex]

Visto che la funzione [tex]$f$[/tex] è pari, tale è anche [tex]$\varphi$[/tex] (questo si poteva dire a priori, senza aver già calcolato esplicitamente [tex]$\varphi$[/tex]) e perciò si può considerare anche solo [tex]$x\geq 0$[/tex].
Con un po' di conti, la [tex]$\varphi^\prime$[/tex] si trova essere:

[tex]$\varphi^\prime (x)=\frac{x\ [(x^2-1)^3-8]}{(x^2-1)^3\ \varphi (x)}$[/tex]

e lo studio del segno non sembra proibitivo.

[Cmax1]

Si può tentare un altro modo, che tuttavia non ha validità generale e non so se verrebbe considerato valido in un compito di esame.
Se disegni il grafico, ti rendi conto che, per la convessità della funzione, i punti candidati sono tre: [tex]x=0[/tex] e i due punti (simmetrici perchè la funzione è pari) in cui la retta passante per [tex]A[/tex] è perpendicolare alla tangente al grafico. La distanza nel caso del primo punto è banalmente [tex]d=2[/tex], per comodità usiamo [tex]d^2(0)=4[/tex]. A tentativo, vediamo se esistono altri punti in cui la distanza assume questo valore. Possono capitare tre casi (disegna una circonferenza centrata in [tex]A[/tex] per rendertene conto):
i) non ce ne sono. [tex]A[/tex] è allora il solo punto cercato
ii) ce ne sono solo due. Sono allora i punti di tangenza cercati, ed insieme ad [tex]A[/tex] soddisfano la condizione.
iii) ce ne sono quattro. Ci ha detto male. [tex]A[/tex] non è tra i punti cercati e ce ne sono altri due che dobbiamo cercare con il metodo classico.

Scriviamo la distanza [tex]d^2(x)=x^2 +(\frac{x^2+1}{x^2-1}-1)^2=x^2+\frac{4}{(x^2-1)^2}=\frac{x^6-2x^4+x^2+4}{x^4-2x^2+1}[/tex], l'equazione è allora [tex]d^2(x)=4[/tex] che diventa dopo qualche passaggio [tex]x^6-6x^4+9x^2=0[/tex], che ha come soluzioni reali [tex]x=0[/tex] (cioè A) e [tex]x=\pm\sqrt{3}[/tex] (si passa per una biquadratica). Siamo stati fortunati.

EDIT. Avevo mancato l'installazione del latexrender. Meglio tardi che mai ...