Disequazione proveniente da studio hessiano
Buona Domenica a tutti....
studiando una funzione a due variabili e trovando l'hessiano nullo in un determinato punto e studiando, di conseguenza il $Deltaf$ mi imbatto in questa disequazione:
$x^4+x^2y+y^2>0$
Ho provato a mettere in evidenza le x ma non riesco proprio ad andare avanti.
Potete darmi una mano?
Grazie mille
studiando una funzione a due variabili e trovando l'hessiano nullo in un determinato punto e studiando, di conseguenza il $Deltaf$ mi imbatto in questa disequazione:
$x^4+x^2y+y^2>0$
Ho provato a mettere in evidenza le x ma non riesco proprio ad andare avanti.
Potete darmi una mano?
Grazie mille
Risposte
In un esercizio mi era stato suggerito di provare a studiare questo genere di disequazioni sfruttando una curva particolare.
Nel senso che magari si può porre x=0 e vedere come diventa la tua disequazione, dopo aver posto x=0 e aver ottenuto la tua nuova disequazione considerare un intorno dove prima y>0 e poi y<0 e vedere cosa succede.
Stessa cosa poi da fare per l'asse delle y, poni y=0 e vedi che cosa diventa la tua disequazione e poi la studi in un intorno dove x>0 e poi x<0.
P.S. posso sapere in quale punto l'hessiano ti si annulla?
Forse l'origine...
Nel senso che magari si può porre x=0 e vedere come diventa la tua disequazione, dopo aver posto x=0 e aver ottenuto la tua nuova disequazione considerare un intorno dove prima y>0 e poi y<0 e vedere cosa succede.
Stessa cosa poi da fare per l'asse delle y, poni y=0 e vedi che cosa diventa la tua disequazione e poi la studi in un intorno dove x>0 e poi x<0.
P.S. posso sapere in quale punto l'hessiano ti si annulla?
Forse l'origine...
esatto...nell'origine...
cmq la disequazione l'ho risolta con derive e mi dice che deve venire che è maggiore di zero sempre.
non riesco proprio a capire come arrivare a questo risultato
mi dai una mano?
grazie mille
cmq la disequazione l'ho risolta con derive e mi dice che deve venire che è maggiore di zero sempre.
non riesco proprio a capire come arrivare a questo risultato
mi dai una mano?
grazie mille
Si...volentieri., anche se a spiegarlo non sono chiaro.
Allora, praticamente qual'è il problema, che la disequazione è in più varibili e non la sappiamo risolvere normalmente, allora quello che conviene fare, come ti ho scritto prima, è andare a considerare l'origine, e vedere come si comportano le variabili in un intorno dell'origine.
Cioè, poni [tex]x=0[/tex]
Immagina sul grafico della funzione di prendere un intorno dello 0. Avrai delle y positive ma anche negative giusto? Guarda qui:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG
Quel cerchietto rosso rappresenterebbe un intorno dell'origine
La disequazione per x=0 diventerà:
[tex]y^2>0[/tex]
Allora avevamo detto che ci sono y positive e vegative, quindi la tua disequazione quando sarà verificata rispetto ad y?
Allora, praticamente qual'è il problema, che la disequazione è in più varibili e non la sappiamo risolvere normalmente, allora quello che conviene fare, come ti ho scritto prima, è andare a considerare l'origine, e vedere come si comportano le variabili in un intorno dell'origine.
Cioè, poni [tex]x=0[/tex]
Immagina sul grafico della funzione di prendere un intorno dello 0. Avrai delle y positive ma anche negative giusto? Guarda qui:
http://www.allfreeportal.com/imghost2/i ... magine.JPG
Quel cerchietto rosso rappresenterebbe un intorno dell'origine
La disequazione per x=0 diventerà:
[tex]y^2>0[/tex]
Allora avevamo detto che ci sono y positive e vegative, quindi la tua disequazione quando sarà verificata rispetto ad y?
per ogni y....imbattendomi in un altro esercizio sempre con l'hessiano nullo ho trovato l'hessiano ke si annulla in (1,1)...per comodità ho preferito sostituire (1,1) nella disequazione e infatti mi son trovato col libro...ma è indifferente la sostituzione del punto nella disequazione o mi conviene sostituire sempre il punto dove l'hessiano è nullo?
Eh...bella domanda...credo devi sostituire il punto dove si annulla, nell'esercizio da te proposto dato che il punto è l'origine poniamo uguale a 0 per lavorare in un intorno dell'origine.
Ma per quanto riguarda l'esercizio di questo post...ci sei o ancora no?
Ma per quanto riguarda l'esercizio di questo post...ci sei o ancora no?
si ci sono...però usando il tuo metodo sto provando a risolvere un'altra disequazione...
è questa:
$ x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy>0$ (è sempre il $Deltaf$ della funzione $x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy$
Il punto dove si annulla l'hessiano è l'origine e dal libro ho visto che l'origine dovrebbe essere punto di sella....quindi dovrei avere ke preso un intorno di $(0,0)$ ho punti che sono sia maggiori di zero che minori....ma proprio non riesco ad arrivarci come....aiutami perpiacere
....tra pochi giorni ho l'esame....eheheh
è questa:
$ x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy>0$ (è sempre il $Deltaf$ della funzione $x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy$
Il punto dove si annulla l'hessiano è l'origine e dal libro ho visto che l'origine dovrebbe essere punto di sella....quindi dovrei avere ke preso un intorno di $(0,0)$ ho punti che sono sia maggiori di zero che minori....ma proprio non riesco ad arrivarci come....aiutami perpiacere
....tra pochi giorni ho l'esame....eheheh
Mh...bene...meglio se ragioniamo assieme perchè io non sono un genio in queste cose quindi....
Però...se per esempio consideri la disequazione:
[tex]x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy[/tex] Ho fatto i prodotti.
Se consideri la x=0 diventa:
[tex]y^4-2y^2>0[/tex]
Gia da qui...dovremmo vederlo, perchè per alcuni valori di y è verificata per altri no.
Esempio...mi pare che per y=1 sia falsa, per y=3 vera invece.
Dunque l'origine dovrebbe essere una sella....per questo...
P.S. mi daresti il titolo del tuo libro?
Non ne ho con funzioni di due variabili..
Però...se per esempio consideri la disequazione:
[tex]x^4+y^4-2x^2-2y^2+4xy[/tex] Ho fatto i prodotti.
Se consideri la x=0 diventa:
[tex]y^4-2y^2>0[/tex]
Gia da qui...dovremmo vederlo, perchè per alcuni valori di y è verificata per altri no.
Esempio...mi pare che per y=1 sia falsa, per y=3 vera invece.
Dunque l'origine dovrebbe essere una sella....per questo...
P.S. mi daresti il titolo del tuo libro?
Non ne ho con funzioni di due variabili..
si però se vedi graficamente ti risulta un punto di massimo....mmm....non riesco proprio a venirne fuori....uffa
è un libro vecchio di mio padre quando andava all'uni....giuseppe zwirner, esercizi di analisi matematica, parte seconda, edizioni cedam,pag 249
"dlbp":
si però se vedi graficamente ti risulta un punto di massimo....mmm....non riesco proprio a venirne fuori....uffa
Scusa ma non avevi detto tu stesso che il libro diceva che è una sella?
Se fai il ragionamento per [tex]y=0[/tex] spunta fuori pure che le x saranno in parte positive e in parte negative.
Dove l'hai visto il grafico?
Su Wolphramalpha?
Non mi fido tanto di quei grafici...altrimenti fammi vedere il grafico se puoi.
il grafico l'ho fatto io a mano...cmq ti dico che stai sbagliando perchè io preso un intorno abbastanza piccolo dell'origine dovrei trovare punti sia maggiori ke minori di zero....ma non accade....uff
Mh..scusa tu sai fare a mano grafici di funzioni di due variabili? Fico
Ma...allora intanto una premessa, il libro ti dice che è una sella?
Però se prendi i valori che ti ho dato io in un post precedente, vedi che è vero, cioè che la funzione, sia rispetto ad x, che rispetto ad y non è sempre maggiore di 0, ci sono valori per cui è maggiore che valori per cui non è maggiore, per esempio se poni x=0 vedi che la y non sarà sempre positiva, prendi y=1, e y=3.
Da quei risultati mi vien da pensare che sia una sella..
Il libro che risultato dà?
Può darsi stia sbagliando...ci sto provando..
Ma...allora intanto una premessa, il libro ti dice che è una sella?
Però se prendi i valori che ti ho dato io in un post precedente, vedi che è vero, cioè che la funzione, sia rispetto ad x, che rispetto ad y non è sempre maggiore di 0, ci sono valori per cui è maggiore che valori per cui non è maggiore, per esempio se poni x=0 vedi che la y non sarà sempre positiva, prendi y=1, e y=3.
Da quei risultati mi vien da pensare che sia una sella..
Il libro che risultato dà?
Può darsi stia sbagliando...ci sto provando..
si mi dice che è sella....cmq prendendo l intorno di (0,0) non mi vengono sia punti dove la disequazione è positiva sia negativa....boh....non ci sto capendo niente...ci vorrebbe proprio la mano di un genio....hahaha
Scusa, ribadisco posso essere io a sbagliare e non me ne rendo conto ma prendiamo un intorno di 0 muovendoci su y.
[tex](0,y)[/tex] giusto?
La disequazione diventa:
[tex]y^4-2y^2>0[/tex]
Il derive stesso dice che è verificata per [tex]y<-\sqrt{2}[/tex] o [tex]y>\sqrt{2}[/tex]
Quindi non è sempre verificata, quindi ci sono punti maggiori ma anche minori dello zero.
Ergo...è una sella....cosa non ti quadra?
[tex](0,y)[/tex] giusto?
La disequazione diventa:
[tex]y^4-2y^2>0[/tex]
Il derive stesso dice che è verificata per [tex]y<-\sqrt{2}[/tex] o [tex]y>\sqrt{2}[/tex]
Quindi non è sempre verificata, quindi ci sono punti maggiori ma anche minori dello zero.
Ergo...è una sella....cosa non ti quadra?
sisi....è vero....sai hai ragione...non ci ero arrivato...probabilmente sarà la stanchezza delle 23.17...ehehehe
grazie infinite
grazie infinite
Meno male...mi sono tolto anche io un pensiero...
abbiamo cantato troppo in fretta vittoria....guarda questa disequazione
$x^3y-y^2x>0$
L'origine dovrebbe essere sella....guarda ke succede
uff
$x^3y-y^2x>0$
L'origine dovrebbe essere sella....guarda ke succede
uff
mi piacerebbe ricevere, anche da qualcun altro che magari le conosce meglio di noi (parlo di me e Dareios89, scusa se mi permetto dareios89 ), delle spiegazioni su come risolvere disequazioni a due variabili e visualizzarne graficamente il risultato sull'asse cartesiano
), delle spiegazioni su come risolvere disequazioni a due variabili e visualizzarne graficamente il risultato sull'asse cartesiano
No no puoi e come, io sono il primo ad aver detto che posso commettere errori perchè non sono il mio forte queste cose.
Però, quello che abbiamo detto sulle precedenti funzioni non credo sia scorretto, andando a vedere questa...metto in evidenza la x e ho:
[tex]x(x^2y-y^2)[/tex]
[tex]x^2y-y^2>0[/tex]
Ora...correggimi perchè con le cose delle superiori sono una frana...ma dovrebbe essere..[tex]x^2>y[/tex]
E anche qui...questa non è sempre verificata....ma solo per alcuni valori...stesso discorso di prima...
Però, quello che abbiamo detto sulle precedenti funzioni non credo sia scorretto, andando a vedere questa...metto in evidenza la x e ho:
[tex]x(x^2y-y^2)[/tex]
[tex]x^2y-y^2>0[/tex]
Ora...correggimi perchè con le cose delle superiori sono una frana...ma dovrebbe essere..[tex]x^2>y[/tex]
E anche qui...questa non è sempre verificata....ma solo per alcuni valori...stesso discorso di prima...
sisi anche come hai fatto tu va bene....ma se provi a mettere in evidenza il prodotto $xy$ è ancora più semplice...perchè poi ti vengono 4 sistemi molto facili e tu li visualizzi sugli assi cartesiani e il gioco è fatto...prova
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