Disequazione proveniente da studio hessiano
Buona Domenica a tutti....
studiando una funzione a due variabili e trovando l'hessiano nullo in un determinato punto e studiando, di conseguenza il $Deltaf$ mi imbatto in questa disequazione:
$x^4+x^2y+y^2>0$
Ho provato a mettere in evidenza le x ma non riesco proprio ad andare avanti.
Potete darmi una mano?
Grazie mille
studiando una funzione a due variabili e trovando l'hessiano nullo in un determinato punto e studiando, di conseguenza il $Deltaf$ mi imbatto in questa disequazione:
$x^4+x^2y+y^2>0$
Ho provato a mettere in evidenza le x ma non riesco proprio ad andare avanti.
Potete darmi una mano?
Grazie mille
Risposte
Non ho seguito tutta la discussione, comunque per la disequazione di partenza userei l'identità
$x^4+x^2y+y^2 = (x^2+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4} y^2$,
da cui si deduce facilmente che l'espressione di partenza è sempre $>0$.
$x^4+x^2y+y^2 = (x^2+\frac{y}{2})^2 + \frac{3}{4} y^2$,
da cui si deduce facilmente che l'espressione di partenza è sempre $>0$.
si ok....per la prima disequazione hai ragione....ma per le altre disequazioni (parlo in generale) come mi conviene procedere....magari mettendo qualcosa in evidenza e ragionando graficamente??
grazie
grazie
Non ci sono regole generali, bisogna ragionare caso per caso.
Ad esempio, in questo caso
ti basta considerare cosa succede lungo le curve $x=y$ e $x=-y$ per capire che il primo membro cambia segno in ogni intorno di $(0,0)$.
Ad esempio, in questo caso
"dlbp":
$ x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy>0$ (è sempre il $Deltaf$ della funzione $x^4+y^4-2(x^2+y^2)+4xy$
ti basta considerare cosa succede lungo le curve $x=y$ e $x=-y$ per capire che il primo membro cambia segno in ogni intorno di $(0,0)$.
Esatto Rigel , stavo per scrivere io la stessa cosa 
Aggiungo però che come hanno fatto Dareios 89 e dlbp per la determinazione della natura del punto critico $(0,0) $ non è corretto . La funzione è : $f(x,y )= x^4+y^4-2(x^2+y^2) +4xy $ che in questo caso ( valendo $0 $ la funzione nell'origine ) è anche uguale al $Delta f $.
Si deve vedere come varia $Deltaf $ negli intorni dell'origine : muoversi sull'asse $y $ è vero che porta a considerare $Deltaf =y^4-2y^2 = y^2(y^2-2)$ .
Ma non ha senso risolvere la disequazione $y^2-2 >0 $ e vedere che è verificata per $y> sqrt(2)$ e anche per $y< -sqrt(2) $ , mentre in $ -sqrt(2)
Quanto dice invece Rigel è il modo corretto di procedere; cosa succede a $Delta f $ se mi muovo sulla retta $y=x $ ?
Succede che $Delta f = 2x^4 $ che è sempre positivo nell'intorno dell'origine in punti "vicini " alla retta $y=x$.
Se mi muovo invece sulla retta $ y=-x $ allora $Delta f = 2x^2(x^2-4)$ e allora $Delta f $ è negativo in punti vicini alla retta $y=-x $ e naturalemnte vicini all'origine.
Dunque è punto di sella.
Aggiungo però che come hanno fatto Dareios 89 e dlbp per la determinazione della natura del punto critico $(0,0) $ non è corretto . La funzione è : $f(x,y )= x^4+y^4-2(x^2+y^2) +4xy $ che in questo caso ( valendo $0 $ la funzione nell'origine ) è anche uguale al $Delta f $.
Si deve vedere come varia $Deltaf $ negli intorni dell'origine : muoversi sull'asse $y $ è vero che porta a considerare $Deltaf =y^4-2y^2 = y^2(y^2-2)$ .
Ma non ha senso risolvere la disequazione $y^2-2 >0 $ e vedere che è verificata per $y> sqrt(2)$ e anche per $y< -sqrt(2) $ , mentre in $ -sqrt(2)
Quanto dice invece Rigel è il modo corretto di procedere; cosa succede a $Delta f $ se mi muovo sulla retta $y=x $ ?
Succede che $Delta f = 2x^4 $ che è sempre positivo nell'intorno dell'origine in punti "vicini " alla retta $y=x$.
Se mi muovo invece sulla retta $ y=-x $ allora $Delta f = 2x^2(x^2-4)$ e allora $Delta f $ è negativo in punti vicini alla retta $y=-x $ e naturalemnte vicini all'origine.
Dunque è punto di sella.
Analogamente si determina la natura dell'origine per $f(x,y)= x^3y-y^2x=xy(x^2-y) =Deltaf $.
La curva su cui mettersi praticamente è già scritta e poi basta vedere che succede muovendosi in un intorno dell'origine e in una striscia attorno alla parabola...
La curva su cui mettersi praticamente è già scritta e poi basta vedere che succede muovendosi in un intorno dell'origine e in una striscia attorno alla parabola...
Neanche io ho seguito tutta la discussione. Però appena letto il primo messaggio mi è balzato all'occhio che l'espressione da studiare
è della forma $A^2+AB+B^2$ con $A=x^2$ e $B=y$. E' ben noto che tale espressione è positiva per ogni $A$ e $B$ non entrambi nulli (come già detto in precedenza)
in effetti $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ si annulla solo per $A=B$ e quindi il secondo fattore non si annulla mai (a meno che $A=B=0$).
Naturalmente si puo' anche vedere $A^2+AB+B^2$ come polinomio di secondo grado in $A$ (o in $B$) e notare che il $\Delta$ fa $-3B^2$ ed è dunque negativo.
è della forma $A^2+AB+B^2$ con $A=x^2$ e $B=y$. E' ben noto che tale espressione è positiva per ogni $A$ e $B$ non entrambi nulli (come già detto in precedenza)
in effetti $A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$ si annulla solo per $A=B$ e quindi il secondo fattore non si annulla mai (a meno che $A=B=0$).
Naturalmente si puo' anche vedere $A^2+AB+B^2$ come polinomio di secondo grado in $A$ (o in $B$) e notare che il $\Delta$ fa $-3B^2$ ed è dunque negativo.
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