Disequazione lnx+2x≥ 0, che si fa?
Rieccomi, spero di non farmi odiare troppo, ma ogni esercizio è un dilemma nuovo. In questo caso ho provato a comportarmi così:
[tex]lnx+2x\geq0[/tex]
[tex]lnx\geq-2x[/tex]
[tex]lnx\geq-2xlne[/tex]
[tex]x\geq e^{-2x}[/tex]
[tex]x\geq\frac{1}{e^{2x}}[/tex]
Non sapendo però come determinarne la soluzione finita, ho pensato allora di andarci per logica (forse facendo delle forzature) perché tornando a [tex]lnx+2x\geq0[/tex] ho pensato che la soluzione poteva essere x>0 ragionando sul fatto che:
1. per il logaritmo non potrebbe essere altrimenti (per il CE)
2. essendo ln un logaritmo a base >1 ed argomento positivo, allora avrebbe assunto comunque una quantità positiva
3. in tal modo anche 2x non poteva che essere positivo.
Mi affido a voi per suggerimenti ed eventuali spiegazioni
Come sempre, grazie in anticipo per la vostra disponibilità 
[tex]lnx+2x\geq0[/tex]
[tex]lnx\geq-2x[/tex]
[tex]lnx\geq-2xlne[/tex]
[tex]x\geq e^{-2x}[/tex]
[tex]x\geq\frac{1}{e^{2x}}[/tex]
Non sapendo però come determinarne la soluzione finita, ho pensato allora di andarci per logica (forse facendo delle forzature) perché tornando a [tex]lnx+2x\geq0[/tex] ho pensato che la soluzione poteva essere x>0 ragionando sul fatto che:
1. per il logaritmo non potrebbe essere altrimenti (per il CE)
2. essendo ln un logaritmo a base >1 ed argomento positivo, allora avrebbe assunto comunque una quantità positiva
3. in tal modo anche 2x non poteva che essere positivo.
Mi affido a voi per suggerimenti ed eventuali spiegazioni
Come sempre, grazie in anticipo per la vostra disponibilità
Risposte
No, la soluzione è $x>=0.4263$ trovata graficamente con l'intersezione delle due curve che hai trovato.
Vedo che spesso queste disequazioni vengono risolte in questo modo ... e a quest'ora non mi viene di meglio ...
Comunque il C.E. è $x>0$ (ma non implica che questa sia la soluzione); la funzione $1/e^(2x)$ è sempre positiva dato che un rapporto di quantità positive (la funzione esponenziale è sempre positiva), da cui vedi che $x$ non può essere "semplicemente" maggiore di zero ma deve essere più grande di un certo valore positivo.
Dato che $1/e^(2x)$ è l'inversa della funzione esponenziale (del quadrato per essere precisi) per valori positivi di $x$ è inferiore a $1$ quindi anche $x$ sarà probabilmente inferiore ad $1$ ...
Cordialmente, Alex
Vedo che spesso queste disequazioni vengono risolte in questo modo ... e a quest'ora non mi viene di meglio ...
Comunque il C.E. è $x>0$ (ma non implica che questa sia la soluzione); la funzione $1/e^(2x)$ è sempre positiva dato che un rapporto di quantità positive (la funzione esponenziale è sempre positiva), da cui vedi che $x$ non può essere "semplicemente" maggiore di zero ma deve essere più grande di un certo valore positivo.
Dato che $1/e^(2x)$ è l'inversa della funzione esponenziale (del quadrato per essere precisi) per valori positivi di $x$ è inferiore a $1$ quindi anche $x$ sarà probabilmente inferiore ad $1$ ...
Cordialmente, Alex
"axpgn":
No, la soluzione è $x>=0.4263$ trovata graficamente con l'intersezione delle due curve che hai trovato.
Vedo che spesso queste disequazioni vengono risolte in questo modo ... e a quest'ora non mi viene di meglio ...
Anche ad un'altra ora, sono disequazioni che non si risolvono per via algebrica classica.
Immaginavo si potesse ricorrere al metodo grafico, ma non capivo bene come applicarlo (l'ho usato molto raramente, quindi non l'ho ancora capito a pieno).
Per favore, potreste spiegarmi meglio cosa dovrei fare quindi? e soprattutto, dove ho sbagliato nei miei tentativi di risoluzione?
Per favore, potreste spiegarmi meglio cosa dovrei fare quindi? e soprattutto, dove ho sbagliato nei miei tentativi di risoluzione?
come dice melia,la disequazione non si risolve algebricamente
la si può risolvere graficamente
osservando che equivale alla disequazione $lnxgeq-2x$,tracciando i grafici di $y=lnx$ e $y=-2x$,si vede subito che essa è verificata per $x geq alpha$ con $0
ad $alpha$ ci si può avvicinare con la precisione voluta usando un metodo iterativo(ad esempio metodo di bisezione o metodo delle tangenti)
la si può risolvere graficamente
osservando che equivale alla disequazione $lnxgeq-2x$,tracciando i grafici di $y=lnx$ e $y=-2x$,si vede subito che essa è verificata per $x geq alpha$ con $0
ad $alpha$ ci si può avvicinare con la precisione voluta usando un metodo iterativo(ad esempio metodo di bisezione o metodo delle tangenti)
"stormy":
ad $ alpha $ ci si può avvicinare con la precisione voluta usando un metodo iterativo(ad esempio metodo di bisezione o metodo delle tangenti)
ho capito come fare i grafici, ma non ho idea di cosa siano il metodo di bisezione/delle tangenti
PS. Considerando che questa disequazione si è venuta a creare all'interno di uno studio di funzione, ed in particolare nello studio della derivata prima, è quindi possibile che l'unico risultato ottenibile sia comunque un'approssimazione?
Tanto per spiegarmi meglio, la funzione di partenza sarebbe \(f(x) =xln^{2}x\), da cui la derivata prima risulta: \(f'(x) =ln^{2}x+2xlnx=lnx(lnx+2x)\) dunque per lo studio del segno ho posto prima \(lnx \geq 0\) ottenendo ovviamente \(x\geq1\) e poi appunto la disequazione \(lnx+2x\geq0\), che quindi ha come soluzione \(x\geq0,4263\). Unendo le soluzioni, questo punto approssimato sarebbe un massimo relativo, è possibile no? (intendo è possibile che risulti un massimo relativo in un valore non preciso?)
"NaliB":
è possibile che risulti un massimo relativo in un valore non preciso?)
certamente
Perfetto! Solo un'altra domanda, il valore 0.4263 come si può sapere, senza ricorrere ai mezzi di internet per riprodurre il grafico? facendolo a mano, ho trovato un punto che su per giù può avere coordinate (0,5;0,9) dato il valore approssimativo, andrebbe bene anche questa come soluzione, no? l'importante è che sia indicativa, nelle vicinanze di quel valore giusto?
Solo un'altra domanda, il valore 0.4263 come si può sapere, senza ricorrere ai mezzi di internet per riprodurre il grafico? facendolo a mano, ho trovato un punto che su per giù può avere coordinate (0,5;0,9) dato il valore approssimativo, andrebbe bene anche questa come soluzione, no? l'importante è che sia indicativa, nelle vicinanze di quel valore giusto?
Può andare bene, ma puoi migliorare osservando che
$ln 0,5 > -2*0,5$, mentre $ln 0,4 < -2*0,4$,
quindi la soluzione sta tra i due valori $0,4 < alpha < 0,5$,
allora puoi provare con $0,43$ e osservare che $ln 0,43 > -2*0,43$,
mentre provando con $0,42$ trovi che $ln 0,42 < -2*0,42$,
da qui puoi affermare che $0,42 < alpha < 0,43$.
Continuando con questo procedimento puoi approssimare sempre meglio il valore di $alpha$ oppure fermarti a uno dei valori trovati.
$ln 0,5 > -2*0,5$, mentre $ln 0,4 < -2*0,4$,
quindi la soluzione sta tra i due valori $0,4 < alpha < 0,5$,
allora puoi provare con $0,43$ e osservare che $ln 0,43 > -2*0,43$,
mentre provando con $0,42$ trovi che $ln 0,42 < -2*0,42$,
da qui puoi affermare che $0,42 < alpha < 0,43$.
Continuando con questo procedimento puoi approssimare sempre meglio il valore di $alpha$ oppure fermarti a uno dei valori trovati.
ok! ancora una volta, grazie mille a tutti!
ma aspetta un attimo
ora che vedo meglio,hai sbagliato a calcolare $f'(x)$
$f'(x)=ln^2x+x(2lnx)1/x=ln^2x+2lnx=lnx(lnx+2)$
ora che vedo meglio,hai sbagliato a calcolare $f'(x)$
$f'(x)=ln^2x+x(2lnx)1/x=ln^2x+2lnx=lnx(lnx+2)$
Si, ieri stesso poi rivedendo i calcoli me ne ero resa conto e l'avevo cambiata...però la vostra spiegazione per la risoluzione grafica mi ha aiutato comunque, perché altre volte mi ero trovata in situazioni simili ed ogni volta non sapevo bene cosa fare, invece adesso ho le idee molto più chiare
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