Disequazione goniometrica

[Ariz93]

Mi ritrovo a risolvere $tgx +sin2x <0$ il procedimento che ho attuato è il solito per le disuguaglianze ma le soluzioni mi vengono :
$-1

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Risposte

Noisemaker

2 feb 2013, 09:42

\begin{align}\tan x-\sin2x<0\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\sin x}{\cos x}-2\sin x\cos x<0\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\sin x-2\sin x\cos^2 x}{\cos x} <0\end{align}

a questo punto studi il segno della frazione :
\begin{align}
N(x)>0:&\qquad \sin x(1-2\cos^2 x)>0\qquad\Leftrightarrow\qquad\begin{cases}\sin x>0\\ \cos^2 x<\frac{1}{2}\end{cases}\\\\
\qquad\Leftrightarrow\qquad&\begin{cases} 0 D(x)>0:&\qquad \cos x >0\qquad\Leftrightarrow\qquad-\frac{\pi}{2} \end{align}

da cui ottieni

\begin{align}
-\frac{\pi}{2} \end{align}

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Ariz93

2 feb 2013, 10:12

Grazie Noisemaker...però non è $tanx-sin2x<0$ ma$ tan x +sin2x<0$

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Noisemaker

2 feb 2013, 10:13

il procedimento è lo stesso!

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Ariz93

2 feb 2013, 10:33

Grazie noise

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chiaraotta1

2 feb 2013, 13:19

Io proporrei di risolvere così.
Da
$tanx +sin2x <0$,
usando le parametriche, si ottiene
$tanx +2tanx/(1+tan^2x) <0$
e
$tanx(1 +2/(1+tan^2x)) <0$.
Poiché il fattore $(1 +2/(1+tan^2x))$ è sicuramente $>0$, la disequazione è equivalente a
$tanx<0$
che ha soluzioni
$-pi/2+kpi

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Ariz93

3 feb 2013, 17:24

"chiaraotta":Io proporrei di risolvere così.

Poiché il fattore $(1 +2/(1+tan^2x))$ è sicuramente $>0$, la disequazione è equivalente a
$tanx<0$
che ha soluzioni
$-pi/2+k!pi
elegante!!! Ma forse ne ho trovata una ancora più carina:
$\frac{sinx}{cosx}<-2sinxcosx$

essendo $|2sinxcosx|>= |\frac{sinx}{cosx}| $

la diseguaglianza è verificata solo quando $sinx>0 \and cosx<0 \or sinx<0 and cosx>0 $
da ciò si arriva alla tua soluzione chiarotta.

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[Noisemaker]

\begin{align}\tan x-\sin2x<0\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\sin x}{\cos x}-2\sin x\cos x<0\qquad\Leftrightarrow\qquad\frac{\sin x-2\sin x\cos^2 x}{\cos x} <0\end{align}

a questo punto studi il segno della frazione :
\begin{align}
N(x)>0:&\qquad \sin x(1-2\cos^2 x)>0\qquad\Leftrightarrow\qquad\begin{cases}\sin x>0\\ \cos^2 x<\frac{1}{2}\end{cases}\\\\
\qquad\Leftrightarrow\qquad&\begin{cases} 0 D(x)>0:&\qquad \cos x >0\qquad\Leftrightarrow\qquad-\frac{\pi}{2} \end{align}

da cui ottieni

\begin{align}
-\frac{\pi}{2} \end{align}

[Ariz93]

Grazie Noisemaker...però non è $tanx-sin2x<0$ ma$ tan x +sin2x<0$

[Noisemaker]

il procedimento è lo stesso!

[Ariz93]

Grazie noise

[chiaraotta1]

Io proporrei di risolvere così.
Da
$tanx +sin2x <0$,
usando le parametriche, si ottiene
$tanx +2tanx/(1+tan^2x) <0$
e
$tanx(1 +2/(1+tan^2x)) <0$.
Poiché il fattore $(1 +2/(1+tan^2x))$ è sicuramente $>0$, la disequazione è equivalente a
$tanx<0$
che ha soluzioni
$-pi/2+kpi

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[Ariz93]

"chiaraotta":Io proporrei di risolvere così.

Poiché il fattore $(1 +2/(1+tan^2x))$ è sicuramente $>0$, la disequazione è equivalente a
$tanx<0$
che ha soluzioni
$-pi/2+k!pi
elegante!!! Ma forse ne ho trovata una ancora più carina:
$\frac{sinx}{cosx}<-2sinxcosx$

essendo $|2sinxcosx|>= |\frac{sinx}{cosx}| $

la diseguaglianza è verificata solo quando $sinx>0 \and cosx<0 \or sinx<0 and cosx>0 $
da ciò si arriva alla tua soluzione chiarotta.