Disequazione fratta modulo ed incognite ambo i lati

[davidecortellino]

Gentilissimi

Dopo svariati tentativi sono qui a chiedere a qualche anima pia il gentile svolgimento step by step della seguente disequazione

$ 1/(4-|x|)<=4/(2-x) $

I miei ossequi
Dave

[axpgn]

Idee tue?
Inizia con lo sciogliere il modulo e calcola il C.E. ...

[davidecortellino]

per modulo di x con x >0 avremo

1/(4-x)<=4/2-x

moltiplico entrambi i termini per 2-x/4 ed ottengo

2-x/16-4x<=1 da cui 3x-14/16-4x<=0 con soluzione della frazione x<4 U x>=14/3 e soluzione del Sistema in x>=0 di

[0,4) U [14/3, + infinito)

Stesso procedimento per modulo di x con x<0 che ovviamente transforma la dissequazione in

2-x/16+4x<=1 con soluzione finale del sistema 2 in (-infinito,-4) U [14/5 , 0)

Tuttavia l'unione delle due soluzioni non da il risultato sperato

[axpgn]

Prima di tutto scrivi le formule correttamente, poi da quando nelle disequazioni si moltiplica per un'espressione contenente l'incognita ?

[davidecortellino]

Con x positiva in valore assoluto abbiamo

$ 1/(4-x)-4/(2-x)<=0 $
$ (3x-14)/((4-x)*(2-x)) $

con soluzione di frazione

$ (-oo ;2) U(4;14/3] $

Intersecando con x>0 del primo sistema abbiamo come soluzione di sistema

$ [0 ;2) U(4;14/3] $

Applicando la stessa metodologia con x negativa in valore assoluto ottengo

$ (-5x-14)/((4+x)(2-x))<=0 $

da cui soluzione di frazione

$ (-oo ;-4) U[-14/5;2) $

e soluzione di sistema $ (-oo ;-4)U[-14/5;0) $

Infine cercando l'unione delle due soluzioni di sistema ottengo come soluzione finale

$ (-oo ;-4)U[-14/5;2)U(4;14/3] $ ovvero adesso la disequazione mi quadra perfettamente

Per quanto riguarda la questione di moltiplicare l'incognita, era menzionata nella soluzione ove

"Moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza per (4−|x|)(2−x), si ottiene"

[davidecortellino]

Riporto la parte della soluzione completa ove menzionava di moltiplicare per l'espressione contenente l'incognita

"Moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza per (4−|x|)(2−x), si ottiene

$ 1/(4-|x|)<=4/(2-x)harr { ( 2-x)<=4(4-|x|) se (2-x)(4-|x|)>0 ;
(2-x)>=4(4-|x|)se (2-x)(4-|x|)<0 ):} $

[axpgn]

Così ti ritrovi a risolverne due ...

Premesso che è diverso da cio che avevi scritto la prima volta, non si fa così perché normalmente è più complicato ... il procedimento usuale è quello di ridurre tutto ad un'unica frazione e studiare il segno di numeratore e denominatore ...

[davidecortellino]

Guarda nel primo tentativo tentavo di seguire la pista della soluzione del testo. Oggettivamente come menziona lei ci si complica abbastanza la vita, ma era la pista del tomo e come tale l'ho presa per buona.

Mi allegra di esserci arrivato alla fine, ed in ogni caso grazie mille per il supporto

[axpgn]

Però, per la precisione, la prima volta hai scritto questo ...

"davidecortellino":... moltiplico entrambi i termini per 2-x/4 ed ottengo ...

... che è diverso da quello che dice il tuo testo ...

"davidecortellino":... era menzionata nella soluzione ove "Moltiplicando ambo i membri della disuguaglianza per (4−|x|)(2−x), si ottiene"

Tutto qui ...

Cordialmente, Alex