Disequazione da derivata

[Fregior]

Salve,
devo mostrare che $f'(n)>g'(n)$
in particolare $(1+t)^n*ln(1+t)>t$ con $t \in R^+ -{0}$ e $n \in N$
come potrei procedere?

Grazie in anticipo.

[Bremen000]

Dunque suppongo che per $\mathbb{N}$ intendi escluso lo $0$ perché per tale valore quella disequazione non è verificata.

Mostriamo che è vera per $n=1$:

Vogliamo mostrare che

$f(t) = (1+t)\log(1+t) - t >0, \forall t>0$;

"studiamo" $f(t)$ in tutto il suo dominio ovvero $(-1 \ ,+\infty)$:

$
f'(t) = \log(1+t)
$

La derivata prima è:

-negativa in $(-1 , 0)$
-nulla per $t=0$
-positiva in $(0 \ ,+\infty)$

Allora $f(t)$ ha un minimo in $t=0$; per tale valore $f(t) =0$ quindi $\forall t>0 \qquad f(t)>0$, che è quello che volevamo dimostrare.

Il caso base l'abbiamo dimostrato, il resto se vuoi per induzione, è banale.

Ciao!

[Fregior]

Grazie mille!