Disequazione con Lagrange?

[Fab996]

Una disequazione di questo tipo$(1/(x+3))

[Fab996]

Per $x>0$

[wanderer1]

Ciao,
allora, noi sappiamo, per il teorema di Lagrange, che:

sia $f$ continua e [...] esiste almeno un punto $c \in (a,b)$ tale che $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, giusto?

allora (se $f'$ è decrescente) vale anche la disequazione: $f'(b) < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < f'(a)$, visto che $f'(b)

Se consideriamo la funzione $ln(x)$ nell'intervallo $(x+1, x+3)$, allora abbiamo:

$ \frac{1}{x+3} < \frac{ln(x+3) - ln(x+1)}{2} < \frac{1}{x+1} \ \rightarrow \ \frac{1}{x+3} < ln\sqrt{\frac{x+3}{x+1}} < \frac{1}{x+1}$

Spero di essere stato chiaro (e non aver commesso errori )

[Fab996]

"wanderer":Ciao,
allora, noi sappiamo, per il teorema di Lagrange, che:

sia $f$ continua e [...] esiste almeno un punto $c \in (a,b)$ tale che $f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$, giusto?

allora (se $f'$ è decrescente) vale anche la disequazione: $f'(b) < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < f'(a)$, visto che $f'(b)

Se consideriamo la funzione $ln(x)$ nell'intervallo $(x+1, x+3)$, allora abbiamo:

$ \frac{1}{x+3} < \frac{ln(x+3) - ln(x+1)}{2} < \frac{1}{x+1} \ \rightarrow \ \frac{1}{x+3} < ln\sqrt{\frac{x+3}{x+1}} < \frac{1}{x+1}$

Spero di essere stato chiaro (e non aver commesso errori )

Grazie

[quantunquemente]

"wanderer":Ciao,
allora, noi sappiamo, per il teorema di Lagrange, che:

sia $ f $ continua e [...] esiste almeno un punto $ c \in (a,b) $ tale che $ f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} $, giusto?

allora (se $ f' $ è decrescente) vale anche la disequazione: $ f'(b) < \frac{f(b)-f(a)}{b-a} < f'(a) $, visto che $ f'(b)


Se consideriamo la funzione $ ln(x) $ nell'intervallo $ (x+1, x+3) $, allora abbiamo:

$ \frac{1}{x+3} < \frac{ln(x+3) - ln(x+1)}{2} < \frac{1}{x+1} \ \rightarrow \ \frac{1}{x+3} < ln\sqrt{\frac{x+3}{x+1}} < \frac{1}{x+1} $

Spero di essere stato chiaro (e non aver commesso errori )

bellissimo