Disequazione con i logaritmi
Salve a tutti,
ho provato a svolgere un esame parziale di analisi 1 e mi sono ritrovato come primo esercizio una disequazione da risolvere, mentre per gli altri esercizi non ho particolari problemi con questa disequazione non riesco proprio a venirne fuori. Probabilmente sono molto disallenato io con questi esercizi di "calcolo" puro e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.
Spero che questa sia la sezione giusta, non è proprio un esercizio di analisi ma in un esame di analisi l'ho trovata, nel caso abbia sbagliato sezione mi scuso.
La disequazione è questa:
\(\displaystyle \sqrt{(\log_{9}|x|-1)\log_{3}(x^{2})}>\frac{1}{2}-2\log_{9}|x| \)
Le condizioni di esistenza dovrebbero essere \(\displaystyle x\not=0 \), \(\displaystyle x \geq 9\) e \(\displaystyle x \leq -9 \) ma poi non so come andare avanti, ho cercato invano di applicare le varie proprietà dei logaritmi per arrivare ad una situazione tipo \(\displaystyle \log_{9}f(x)>\log_{9}g(x) \) così da poter considerare dopo \(\displaystyle f(x)>g(x) \) ma il massimo a cui sono riuscito ad arrivare è stata una roba del tipo:
\(\displaystyle \log_{9}(\frac{|x|}{9}) \log_{3}x^{2} > (\log_{9}(\frac{3}{x^{2}}))^{2} \)
E da qui non ho idea di come andare avanti (ammesso che quella intrapresa fino ad ora fosse la strada giusta), tra l'altro non capisco se sto cercando di fare la cosa giusta o esiste qualche altro "metodo" che mi sfugge per risolvere queste disequazioni.
Grazie mille a tutti.
ho provato a svolgere un esame parziale di analisi 1 e mi sono ritrovato come primo esercizio una disequazione da risolvere, mentre per gli altri esercizi non ho particolari problemi con questa disequazione non riesco proprio a venirne fuori. Probabilmente sono molto disallenato io con questi esercizi di "calcolo" puro e mi sto perdendo in un bicchier d'acqua.
Spero che questa sia la sezione giusta, non è proprio un esercizio di analisi ma in un esame di analisi l'ho trovata, nel caso abbia sbagliato sezione mi scuso.
La disequazione è questa:
\(\displaystyle \sqrt{(\log_{9}|x|-1)\log_{3}(x^{2})}>\frac{1}{2}-2\log_{9}|x| \)
Le condizioni di esistenza dovrebbero essere \(\displaystyle x\not=0 \), \(\displaystyle x \geq 9\) e \(\displaystyle x \leq -9 \) ma poi non so come andare avanti, ho cercato invano di applicare le varie proprietà dei logaritmi per arrivare ad una situazione tipo \(\displaystyle \log_{9}f(x)>\log_{9}g(x) \) così da poter considerare dopo \(\displaystyle f(x)>g(x) \) ma il massimo a cui sono riuscito ad arrivare è stata una roba del tipo:
\(\displaystyle \log_{9}(\frac{|x|}{9}) \log_{3}x^{2} > (\log_{9}(\frac{3}{x^{2}}))^{2} \)
E da qui non ho idea di come andare avanti (ammesso che quella intrapresa fino ad ora fosse la strada giusta), tra l'altro non capisco se sto cercando di fare la cosa giusta o esiste qualche altro "metodo" che mi sfugge per risolvere queste disequazioni.
Grazie mille a tutti.
Risposte
Una disequazione irrazionale di quel tipo ($sqrt(X)>Y$) si trasforma in questo:
${(X>=0),(Y<0):}\ \ \ \ \ uu\ \ \ \ \ {(Y>0),(X>Y^2):}$
Per quanto riguarda il C.E. basta porre attenzione agli argomenti delle radici (ovvero $x != 0$), in quanto le condizioni relative al radicando sono ricomprese nel sistema; inoltre possiamo notare che $log_9|x|=(log_3|x|)/(log_3 9)=(log_3|x|)/2$.
Provi a continuare tu?
${(X>=0),(Y<0):}\ \ \ \ \ uu\ \ \ \ \ {(Y>0),(X>Y^2):}$
Per quanto riguarda il C.E. basta porre attenzione agli argomenti delle radici (ovvero $x != 0$), in quanto le condizioni relative al radicando sono ricomprese nel sistema; inoltre possiamo notare che $log_9|x|=(log_3|x|)/(log_3 9)=(log_3|x|)/2$.
Provi a continuare tu?
Alla fine ho risolto, avevo già ottenuto le soluzioni ma pensavo di aver sbagliato perché violavano le condizioni di esistenza.
Invece l'errore stava nelle condizioni di esistenza che in realtà sono:
\(\displaystyle |x|\in(0, 1) \cup (9, +\infty ) \)
Per completezza lascio la soluzione (confermata da wolfram alpha visto che purtroppo non avevo le soluzioni):
\(\displaystyle |x|\in(0, \frac{1}{\sqrt[4]{3}}) \cup (9, +\infty) \)
Tra l'altro veniva anche abbastanza semplice facendo un opportuna sostituzione.
Grazie mille
Invece l'errore stava nelle condizioni di esistenza che in realtà sono:
\(\displaystyle |x|\in(0, 1) \cup (9, +\infty ) \)
Per completezza lascio la soluzione (confermata da wolfram alpha visto che purtroppo non avevo le soluzioni):
\(\displaystyle |x|\in(0, \frac{1}{\sqrt[4]{3}}) \cup (9, +\infty) \)
Tra l'altro veniva anche abbastanza semplice facendo un opportuna sostituzione.
Grazie mille
Sì, la soluzione è quella e una sostituzione $t=log_3 |x|$ rendeva più chiaro il procedimento ... non capisco però la questione delle condizioni di esistenza in quanto bastava porre $x!=0$ perché quelle relative al radicando erano "conglobate" nel sistema ...
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo