Discutere e risolvere sistema lineare

[morfiero95]

Si discuta e si risolva il seguente sistema lineare nelle incognite x, y, z, t al variare del parametro reale k:

{x-y+z-t=k^2
{2x+y+5z+4t=k
{x+2z+t=2

[ciampax]

La cosa migliore è ridurre il sistema a gradini: dopo la prima riduzione si ha

[math]x-y+z-t=k^2,\qquad 3y+3z+6t=k-2k^2,\qquad y+z+2t=2-k^2[/math]

e dopo la seconda riduzione

[math]x-y+z-t=k^2,\qquad 3y+3z+6t=k-2k^2,\qquad 0=2-k^2[/math]

Dall'ultima equazione si deduce che il sistema è compatibile solo quando

[math]2-k^2=0\ \Rightarrow\ k=\pm\sqrt{2}[/math]

. In tal caso il sistema si riduce alla seguenti due equazioni

[math]x-y+z-t=2,\qquad 3y+3z+6t=\pm\sqrt{2}-4[/math]

o anche

[math]x-y+z-t=2,\qquad y+z+2t=\frac{\pm\sqrt{2}-4}{3}[/math]

e pertanto, indicando con

[math]z=\alpha,\ t=\beta[/math]

le variabili indipendenti

[math]x=2-2\alpha-\beta,\qquad y=\frac{\pm\sqrt{2}-4}{3}-\alpha-2\beta[/math]

per cui il sistema ammette

[math]\infty^2[/math]

soluzioni.