Discontinuità derivata
Salve, è giusto supporre che una funzione f(x) discontinua possa ammette una primitiva, soltanto se i punti di discontinuità sono di terza specie (almeno uno dei due limiti dalla destra o dalla sinistra di f(x) non esiste)
Risposte
Aspetta la discontinuità di terza specie è:
un punto $x_0$ è discontinuità di terza specie(o eliminabile), se i limiti destro e sinistro sono finiti e coincidono ma: o la funzione non è definita nel punto, oppure se lo è, si ha che
Se almeno uno dei due limiti destro o sinistro non esistono e/o sono infiniti, si parla di discontinuità di seconda specie.
In ogni caso no, non è corretto. Ad esempio se consideri la funzione $f:x|->sign(x)$ che ha una discontinuità di prima specie, ammette comunque primitiva, ed è $|x|$.
Diciamo che se non parliamo di funzioni integrabili secondo Riemann, una funzione non ammette primitiva se non può essere espressa in termini di funzioni elementari. La funzione
$f(x)=e^(-x^2)$
Non ammette primitiva in termini di funzioni elementari.
In generale, dove la funzione integranda non è continua, allora la funzione primitiva non sarà derivabile. Questo non comporta che non ammetta primitive.
un punto $x_0$ è discontinuità di terza specie(o eliminabile), se i limiti destro e sinistro sono finiti e coincidono ma: o la funzione non è definita nel punto, oppure se lo è, si ha che
$lim_(x->x_0)f(x)nef(x_0)$
Se almeno uno dei due limiti destro o sinistro non esistono e/o sono infiniti, si parla di discontinuità di seconda specie.
In ogni caso no, non è corretto. Ad esempio se consideri la funzione $f:x|->sign(x)$ che ha una discontinuità di prima specie, ammette comunque primitiva, ed è $|x|$.
Diciamo che se non parliamo di funzioni integrabili secondo Riemann, una funzione non ammette primitiva se non può essere espressa in termini di funzioni elementari. La funzione
$f(x)=e^(-x^2)$
Non ammette primitiva in termini di funzioni elementari.
In generale, dove la funzione integranda non è continua, allora la funzione primitiva non sarà derivabile. Questo non comporta che non ammetta primitive.
Le primitive di una funzione e le funzioni che ammettono primitve hanno una ben precisa definizione alla quale va fatto riferimento per evitare ambiguità e errori:
Sia $f:I->R$ definita in $I$ intervallo aperto, una funzione $F:I->R$ è una primitiva di $f$ in $I$ se $F$ è derivabile in $I$ e risulta $F'(x)=f(x), AA x in I$
I concetti di primitive e quelle di integrale non hanno niente in comune, solo in particolari condizioni, ossia quelle espresse dal teorema fondamentale del calcolo integrale, i due concetti vengono messi in comune, dicendo che se f è continua in I aperto, allora essa è integrabile in I e la funzione integrale di f in I è una primitiva di f in I. In tutti gli altri casi, una funzione può essere integrabile e non avere primitive oppure avere primitive e non essere integrabile.
Si può dimostrare che se f in I ammette salti (o discontinuità di prima specie) allora non può avere una primitiva in I. Quindi nel caso della funzione $sign(x)$, essa presenta un salto in x=0, quindi in qualsiasi intervallo contenente x=0 tale funzione non può ammettere primitiva, pertanto, la funzione $abs(x)$ non è una primitiva di sign(x) in un intervallo contenente lo zero, dato che $abs(x)$ non è derivabile in x=0, cosa richiesta dalla definizione di primitiva. Tuttavia sign(x) è chiaramente integrabile in qualsiasi intervallo contenente lo zero.
Considera invece la funzione $f(x)=2xsin(1/x^2)-2/xcos(1/x)$ se $x!=0$, $f(x)=0$ se $x=0$, essa ammette come primitiva la funzione $F(x)=x^2sin(1/x^2)$ se $x!=0$, $F(x)=0$ se $x=0$ in qualsiasi intervallo contenente $x=0$, ma f(x) non è integrabile in nessun intervallo contenente lo zero perché f(x) non è limitata in tali intervalli, infatti il limite per x che tende a zero di f(x) è infinito, pertanto f(x) presenta una discontinuità di seconda specie, e risulta che ammette primitiva ma non è integrabile.
Sia $f:I->R$ definita in $I$ intervallo aperto, una funzione $F:I->R$ è una primitiva di $f$ in $I$ se $F$ è derivabile in $I$ e risulta $F'(x)=f(x), AA x in I$
I concetti di primitive e quelle di integrale non hanno niente in comune, solo in particolari condizioni, ossia quelle espresse dal teorema fondamentale del calcolo integrale, i due concetti vengono messi in comune, dicendo che se f è continua in I aperto, allora essa è integrabile in I e la funzione integrale di f in I è una primitiva di f in I. In tutti gli altri casi, una funzione può essere integrabile e non avere primitive oppure avere primitive e non essere integrabile.
Si può dimostrare che se f in I ammette salti (o discontinuità di prima specie) allora non può avere una primitiva in I. Quindi nel caso della funzione $sign(x)$, essa presenta un salto in x=0, quindi in qualsiasi intervallo contenente x=0 tale funzione non può ammettere primitiva, pertanto, la funzione $abs(x)$ non è una primitiva di sign(x) in un intervallo contenente lo zero, dato che $abs(x)$ non è derivabile in x=0, cosa richiesta dalla definizione di primitiva. Tuttavia sign(x) è chiaramente integrabile in qualsiasi intervallo contenente lo zero.
Considera invece la funzione $f(x)=2xsin(1/x^2)-2/xcos(1/x)$ se $x!=0$, $f(x)=0$ se $x=0$, essa ammette come primitiva la funzione $F(x)=x^2sin(1/x^2)$ se $x!=0$, $F(x)=0$ se $x=0$ in qualsiasi intervallo contenente $x=0$, ma f(x) non è integrabile in nessun intervallo contenente lo zero perché f(x) non è limitata in tali intervalli, infatti il limite per x che tende a zero di f(x) è infinito, pertanto f(x) presenta una discontinuità di seconda specie, e risulta che ammette primitiva ma non è integrabile.
per discontinuità di terza specie,(non so perchè ma la mia prof li classifica così xD) intendo un punto c in cui la funzione è definita, ma almeno uno dei due limiti per x->c da destra o da sinistra non esiste. Perchè se esistessero entrambi allora dovrebbero essere uguali alla derivata della funzione primitiva in quel punto, e quindi non vi sarebbe discontinuità ( mi riferisco al teorema sul limite della derivata)
"anto_zoolander":
Diciamo che se non parliamo di funzioni integrabili secondo Riemann, .
Non ha niente a che vedere con l'esistenza o meno delle primitive.
"dissonance":
Non ha niente a che vedere con l'esistenza o meno delle primitive.
Ho erroneamente sottinteso la parte 'che non ha nulla a che vedere con le primitive' non alludevo a un paragone, però mi sono espresso male.
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