Dimostrazioni in campo complesso
Salve a tutti!
Sto preparando l'esame di analisi complessa e ho alcune dimostrazioni da fare utilizzando $sen z= sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n+1}$, $ cos z=sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n} $ e $ e^{z}=sum_{n=0}^{infty} frac(z^{n})(n!) $.
Sono riuscito a dimostrare $frac(de^{z})(dz)=e^{z}$ e $frac(dcos z)(dz)=- sen z$.
Nella dimostrazione di $frac(dsin z)(dz)$ ho un problema sull'indice della sommatoria:
$frac(dsen z)(dz)=sum_{n=1}^{infty}(2n+1)frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n}=sum_{n=1}^{infty}frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n}$ e a questo punto non riesco a fare un cambio di indice della sommatoria in modo da avere $cos z$.
Sto preparando l'esame di analisi complessa e ho alcune dimostrazioni da fare utilizzando $sen z= sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n+1}$, $ cos z=sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n} $ e $ e^{z}=sum_{n=0}^{infty} frac(z^{n})(n!) $.
Sono riuscito a dimostrare $frac(de^{z})(dz)=e^{z}$ e $frac(dcos z)(dz)=- sen z$.
Nella dimostrazione di $frac(dsin z)(dz)$ ho un problema sull'indice della sommatoria:
$frac(dsen z)(dz)=sum_{n=1}^{infty}(2n+1)frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n}=sum_{n=1}^{infty}frac((-1)^{n})((2n)!)z^{2n}$ e a questo punto non riesco a fare un cambio di indice della sommatoria in modo da avere $cos z$.
Risposte
Ma non capisco perchè tu parta da [tex]$n=1$[/tex] nella derivata di [tex]$\sin z$[/tex]...
"Røland":
$sen z= sum_{n=0}^{infty} frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n+1}$,
$frac(dsen z)(dz)=sum_{n=1}^{infty}(2n+1)frac((-1)^{n})((2n+1)!)z^{2n}=...$
Come dice gugo, la sommatoria della derivata non deve partire da $n=1$, ma da $n=0$.
Il primo termine della sommatoria di $sen z$ è $z$ che ha per derivata $1$.
Se, nella derivata del seno, fai partire la sommatoria da $n=1$, perdi quell' "$1$".
Sulle dispense ho un teorema che dice che per le funzioni del tipo $f(z)=sum_{n=0}^{infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ la derivata vale $f'(z)=sum_{n=1}^{infty}na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$
Qui c'è la spiegazione http://www.arrigoamadori.com/lezioni/Se ... otenze.htm
Infatti per la derivata dell'esponenziale e del coseno riesco a ricondurmi a una sommatoria da 0 a infinito, facendo un cambio di indice
Infatti per la derivata dell'esponenziale e del coseno riesco a ricondurmi a una sommatoria da 0 a infinito, facendo un cambio di indice
Però avete ragione... derivando dallo sviluppo in serie il primo termine lo perdo
Invece di applicare le regole senza averne capito il senso, prova a scrivere i primi termini della serie del seno ed a derivarla.
Insomma, stai sbagliando perchè non hai capito che nel caso generale la serie derivata parte da [tex]$n=1$[/tex] perchè serve far "scomparire" il termine [tex]$a_0$[/tex]; nel tuo caso [tex]$a_0$[/tex] è già nullo...
Ecco, te ne sei accorto.
Insomma, stai sbagliando perchè non hai capito che nel caso generale la serie derivata parte da [tex]$n=1$[/tex] perchè serve far "scomparire" il termine [tex]$a_0$[/tex]; nel tuo caso [tex]$a_0$[/tex] è già nullo...
Ecco, te ne sei accorto.
Ho fatto entrambi i modi e vorrei appunto capire perchè seguendo il teorema la cosa non mi torna
"Røland":
Sulle dispense ho un teorema che dice che per le funzioni del tipo $f(z)=sum_{n=0}^{infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ la derivata vale $f'(z)=sum_{n=1}^{infty}na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$
Il problema è che la nostra non è una funzione di quel tipo: l'esponente di $z$ è $2n+1$, e quel $+1$ scombussola tutto
Te l'ho detto: fai i conti a caso.
Infatti:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} z} \sin z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} z^{2n+1}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n}$[/tex]
[tex]$=\cos z$[/tex].
Infatti:
[tex]$\frac{\text{d}}{\text{d} z} \sin z=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}\ \frac{\text{d}}{\text{d} z} z^{2n+1}$[/tex]
[tex]$=\sum_{n=0}^{+\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!}\ z^{2n}$[/tex]
[tex]$=\cos z$[/tex].
Ok.
Ma allora perchè ad esempio ho
$frac(de^{z})(dz)=sum_{n=1}^{infty}frac(n)(n!)z^{n-1}=sum_{n=1}^{infty}frac(z^{n-1})((n-1)!)=sum_{m=0}^{infty}frac(z^{m})(m!)=e^{z}$
che seguendo il teorema funziona?
Ma allora perchè ad esempio ho
$frac(de^{z})(dz)=sum_{n=1}^{infty}frac(n)(n!)z^{n-1}=sum_{n=1}^{infty}frac(z^{n-1})((n-1)!)=sum_{m=0}^{infty}frac(z^{m})(m!)=e^{z}$
che seguendo il teorema funziona?
Perchè nella serie dell'esponenziale compaiono tutte le potenze di [tex]$z$[/tex] ed in quella del seno solo le potenze dispari, forse?
O forse è un capriccio divino della Matematica?
Scegli tu.
Comunque, come ho detto, fin quando ti limiterai ad applicare le regole così come sono scritte, senza minimamente chiederti qual è il loro significato, problemi come questo saranno all'ordine del giorno.
E questo non vale solo per la Matematica: nella vita ci vuole sempre un po' di spirito critico... L'agire meccanicamente lascialo alle macchine.
O forse è un capriccio divino della Matematica?
Scegli tu.
Comunque, come ho detto, fin quando ti limiterai ad applicare le regole così come sono scritte, senza minimamente chiederti qual è il loro significato, problemi come questo saranno all'ordine del giorno.
E questo non vale solo per la Matematica: nella vita ci vuole sempre un po' di spirito critico... L'agire meccanicamente lascialo alle macchine.
Perfetto, allora seguendo il tuo ragionamento, dovrebbe valere la stessa cosa anche per il coseno in quanto sono presenti solo le potenze pari, o sbaglio?
"Røland":
Sulle dispense ho un teorema che dice che per le funzioni del tipo $f(z)=sum_{n=0}^{infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}$ la derivata vale $f'(z)=sum_{n=1}^{infty}na_{n}(z-z_{0})^{n-1}$
In realtà vale qualcosa di più forte: per tutte le funzioni del tipo $f(z)=sum_{n=0}^{infty}a_{n}(z-z_{0})^{k*n}$, con $k in RR$, vale $f'(z)=sum_{n=1}^{infty}k*n*a_{n}(z-z_{0})^{kn-1}$
"Røland":
Perchè $frac(de^{z})(dz)=sum_{n=1}^{infty}frac(n)(n!)z^{n-1}=sum_{n=1}^{infty}frac(z^{n-1})((n-1)!)=sum_{m=0}^{infty}frac(z^{m})(m!)=e^{z}$ che seguendo il teorema funziona?
Perchè $e^z$ e $cosz$ sono ti quel tipo che ho appena scritto, con $k=2$, mentre $sinz$ non lo è
"Røland":
Perfetto, allora seguendo il tuo ragionamento, dovrebbe valere la stessa cosa anche per il coseno in quanto sono presenti solo le potenze pari, o sbaglio?
Prova e vedrai.
$frac(dcos z)(dz)=sum_{n=0}^{infty}frac((-1)^{n})((2n)!)frac(dz^{2n})(dz)=sum_{n=0}^{infty}frac((-1)^{n})((2n-1)!)z^{2n-1}$ ma siccome la derivata del primo termine dello sviluppo del coseno è 0, devo partire da 1, anche perchè altrimenti avrei un fattoriale negativo.
E già... Perchè ovviamente moltiplichi per zero e semplifichi [tex]$\tfrac{0}{1} =\tfrac{0}{0!}=1$[/tex].
Ma per favore!
Siamo sempre lì... Segui il mio consiglio, che è meglio, invece di star lì a provare che mi sbaglio con questi trucchetti.
Ma per favore!
Siamo sempre lì... Segui il mio consiglio, che è meglio, invece di star lì a provare che mi sbaglio con questi trucchetti.
Con coseno il teorema funziona
Vabbé, dai, ci rinuncio.
Buona fortuna.
Buona fortuna.
Beh io ho chiesto consiglio appunto per capire, invece ottengo sarcasmo e saccenza... ottimo!
Ti ho segnalato l'errore.
Inoltre Gi8 ti ha anche spiegato perchè la regola funziona per il coseno (ed anzi più in generale) e non per il seno.
Cosa vuoi di più?
Sei tu che non ti sforzi di capire, secondo me.
Inoltre Gi8 ti ha anche spiegato perchè la regola funziona per il coseno (ed anzi più in generale) e non per il seno.
Cosa vuoi di più?
Sei tu che non ti sforzi di capire, secondo me.
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